表示标准正态分布的概率密度函数用Φx

经管数学第三节连续型随机变量的分布2.3、连续型随机变量的分布2.3.1、连续型随机变量的概率密度函数由于连续型随机变量取值可以充满某个区间，为了研究其概率分布，类似于质量分布的求法，已知质量分布的线密度函数μ(x)时，在区间[a,b]上分布的质量m可由质量密度函数积分求得，即badxxm)(引入概率密度函数的概念计算连续型随机变量的分布。定义2.5()()xxR()()baPabxdx(1)()0()xxR(2)()1xdx对于任何区间[a,b]，如果存在可积函数使ξ在[a,b]取值的概率（2.3.1）则称φ(x)为连续型随机变量ξ的概率密度函数（简称为密度函数），记为ξ~φ(x)。概率密度函数需满足以下条件：且当φ(x)在x处连续时()()aaPaxdx{}Pab{}Pab{}Pab{}Pab()baxdx()()()xFxPxtdt()()Fxx对于连续型随机变量ξ，显然有对于连续型随机变量ξ，其分布函数为F(x)，则（2.3.2）案例分析见7.12~7.15σ0,是正态分布的两个参数.定义2.62.3.2、正态分布22()21()2xxe()x2~(,)N(,),如果随机变量ξ的概率密度是则称ξ服从正态分布，记作其中为φ(x)的拐点的横坐标.,0)(x1()2x0)(xx概率密度φ(x)具有如下性质：1、即概率密度曲线都在x轴上方.φ(x)以x=μ为对称轴，并在x=μ取得最大值：3、时，这说明曲线φ(x)向左、右伸展时，无限接近x轴，即φ(x)以x轴为渐近线.4、2、当正态分布的概率密度曲线ox)(xf图2-4结论：ox)(xf1212o)(xfx212图2-5（a）图2-5（b）μ决定对称轴位置σ决定中峰陡峭程度σ较大时，峰较平缓σ较小时，峰较陡峭参数μ,σ对曲线位置与形状的影响：μ=0,σ=1时的正态分布称为标准正态分布，记作ξ~N(0,1)。通常用φ(x)表示标准正态分布的概率密度函数，用Φ(x)表示分布函数2212xxe定义2.7221()()2txxxtdtedt标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形标准正态分布的重要性在于，一般的正态分布都可以转化为标准正态分布进行研究.图2-6则定理2~(,),XN~(0,1)XYN证明故()()XPaYbPab)(bXaP22()212xbaedxxt2212tbaedt~(0,1)YN设利用定理1和标准正态分布函数Φ(x)数值表可解决一般正态分布的概率计算问题.(1)P(X1.5);(2)P(X2)(3)P(-1X≤3);(4)P(|X|≤2)(2)(2)1(2)1(2)10.97730.0227PXPX~(0,1),XN解1.5(1)(1.5)()(1.5)0.9332PXtdt(3)(13)(3)(1)(3)[1(1)]PX0.9987(10.8413)0.8354例1设计算(4)(2)(22)(2)(2)PXPX(2)[1(2)]2(2)10.9545一般,设~(0,1)XN()()()PaXbba()2()1PXaa,则有例22~(5,3)XN(1)(10);PX(2)(210)PX解一般,设2~(5,3)XN5~(0,1)3XN51055(1)(10)()(1.67)(1.67)0.9525333XXPXPP2551055(2)(210)()(11.67)3333XXPXPP(1.67)(1)0.9525(1(1))0.79382~(,)XN()()()baPaXb,计算由,根据定理1,,则有设案例分析见2.16~2.18案例2.12某线路公共汽车每隔6分钟开出一辆，乘客到车站候车时间ξ是一个随机变量.且ξ在[0,6]上任一子区间内取值的概率与这区间长度成正比，求ξ的分布函数F(x)及密度函数φ(x).解因此λ=1/6.06(06)1P[,][0,6]cd()()Pcddc(06)(60)6Pξ取且仅取[0,6]的实数，即是必然事件若，有λ为比例常数.特别地，取c=0，d=6,案例分析F(x)的图形如图7-6所示.061xF(x)106()60xx其它对F(x)求导数得密度函数为图7-6001()()(0)06616xFxPxxxx得到F(x)的定义解案例2.13则称ξ在区间[a,b]上服从均匀分布，记为ξ~U(a,b).试求λ及F(x).()()0axbxab其它由（2.3.2）式，有()()1baxdxdxba1ba0()1xaxaFxaxbbaxb若ξ的概率密度为（2.3.3）,试求ξ的分布函数F(x).案例2.14解0()00xexxx~()E由（2.1.10）式，有0()()0xxFxxdx，00,()()1xxxxxFxxdxedxe若ξ的概率密度为其中λ0，则称ξ服从参数为λ的指数分布，记为各种“寿命”分布近似地服从指数分布，如随机服务系统中的服务时间、某些消耗性产品（电子元件等）的寿命等，常假定服从指数分布.假若产品的失效率为λ，则产品在t(t0)时间失效（即寿命为t）的分布函数为()1tFte()1()tRtFte而产品的可靠度为解案例2.15的指数分布.3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少?1(1000)各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率可看成3重贝努里试验中3次试验都成功的概率为1000()1(0)xFxex1(1000)1(1000)1(1000)PPFe3131033()(1)0.05Ceee某元件寿命ξ服从参数为λ参数为λ的指数分布函数为案例2.16某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？设随机变量ξ为设备寿命，由题意解2~(10,2)N910(9)1(9)1()1(0.5)(0.5)0.69152PP得到解案例2.17现从这批零件中任取一件,问:(1)长度与其均值的误差不超过0.3厘米的概率是多大?(2)能以0.95的概率保证零件长度与其均值的误差不超过多少厘米?220,0.2N即误差不超过0.3厘米的概率为0.8664.2~(20,0.2)XN20~(0,1)0.2XN200.320(1)(200.3)()(1.5)0.20.20.2XXPXPP2(1.5)120.933210.8664设一批零件的长度X(厘米)服从正态分布因为,所以即能以0.95的概率保证长度与其均值误差不超过0.392厘米.(20)0.95PX20(20)()2()10.20.20.2XPXP2()10.950.2()0.9750.21.960.20.392（2）依题意,求因为得即查表得即考试分与标准分的转换。由于各考试科难易不同，评分标准不同，各科考分的分值是不同的。为了科学地比较总分，将各科考试原始分ξ转化为标准分Z，设案例2.182~(,)N~(0,1)ZN则再将Z转化均值为50，标准差为10的标准分T，即T=10Z+50。例如，比较甲、乙两学生数学、语文、外语三科总成积，转化为标准分如下页表2-7。表2-7Z科目原始分数全体考生标准分数ZT=10Z+50甲乙均值μ标准差σ甲乙甲乙数学7882808-0.250.2547.552.5语文45414240.75-0.2557.547.5外语7274746-0.33046.750.0总和1951970.170151.7150.0由表2-7可见，若看原始分数总和乙优于甲；若看标准分数总和甲优于乙。由于语文平均分偏低，说明较难，而甲高出乙4分，尽管数学，外语成绩乙高出甲6分，但数学、外语的分值低于语文的分值。表的最右列T分数是为了消除Z分数中的负值，并尽可能标准分数与原始分数相近，T分数所起作用同Z分数。评注课堂练习题习题一、设某种元件的寿命(以小时计)的概率密度为一台设备中装有三个这样的元件．求：(1)最初1500小时内没有一个损坏的概率；(2)只有一个损坏的概率．21000,1000,()0,1000.xfxxx课堂练习题习题二、设随机变量x服从正态分布N(3，4),求(1)P{2＜X＜5}；(2)P{-4≤x≤10}；(3)P{IXI2}；(4)P{X3}；(5)常数C，使得P{XC}=P{X≤C}课堂练习答案习题一、【分析】设一个元件的寿命为x，则它在1500小时内损坏的概率为各个元件损坏与否是相互独立的且分布相同，故三个元件使用1500小时后损坏个数ξ服从二项分布B(3，1/3)．15002100010001(1500)3.pPXdxx(2)只有一个损坏的概率为：1123114(1)()(1)0.4444.339PNC0033118(0)()(1)0.2963.3327PNC【解答】(1)最初1500小时内没有一个损坏的概率为：习题二、【分析】一般随机变量x服从正态分布N(μ，)，其概率为这里的Φ(μ)是标准正态分布，有表可查，且由对称性有Φ(-μ)=1-Φ(+μ).2(}(),xPXx【解答】(1).5323{25}()()22(1)(0.5)0.8413(10.6915)0.5328.PX(2).10343{410}()()22(3.5)(3.5)2*0.999810.9996.PX【解答】(3).{||2}1{||2}1{22}23231[()()]221[(2.5)(0.5)]1(0.99380.6915)0.6977.PXPXPX(4).{3}1{3}1(0)10.50.5PXPX【解答】(5).若C使得则{}{},PXCPXC1{}{},PXCPXC3{}()0.5,2CPXC即得因此C=3.