第3章随机信号的频域分析

中北大学信息与通信工程学院信号课程建设组主讲：陈友兴第三章随机信号的频域分析使用班级：09050641,0905064209050941,09050942第三章随机信号的频域分析2/30随机信号分析第三章随机信号的频域分析3.1实随机过程的功率谱密度（3）3.2两个实随机过程的互功率谱密度（17）3.3白噪声（22）第三章随机信号的频域分析3/30随机信号分析3.1实随机过程的功率谱密度3.1.1确知信号的频谱和能量谱密度（1）狄里赫利设信号s(t)为时间t的非周期实函数，满足如下条件：,即s(t)绝对可积；s(t)在内只有有限个第一类间断点和有限个极值点。dtts)(),(第三章随机信号的频域分析4/30随机信号分析（2）频谱密度s(t)的傅立叶变换又称为频谱密度，也简称为频谱。dtetsStj)()(信号s(t)可以用频谱的傅立叶反变换来表示deStstj)(21)(第三章随机信号的频域分析5/30随机信号分析（3）能量谱密度信号s(t)的总能量为dttsE)(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即dSdttsE22)(21)(称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。2)(S能谱密度存在的条件是即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。dtts)(2第三章随机信号的频域分析6/30随机信号分析3.1.2实随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。经推导可得21()lim[()]2XTTGEXT为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。（1）定义第三章随机信号的频域分析7/30随机信号分析通过截取样本函数-T到T的一段，傅立叶变换得TTtjTtjTTdtetxdtetxX)()()(dXdttxQTTTT22)(21)(dXTdttxTTQTTTT22)(41)(212具有随机性根据能量守恒，总能量：时间平均能量:注：平均功率包含了集合平均和时间平均的双重含义])(41[])(21[22dXTEdttxTETTTT222()11[()]lim[()]lim222TTTTTTTEXExtExtdtdTT统计平均能量:平均功率：第三章随机信号的频域分析8/30随机信号分析随机过程的平均功率为1()2XXPGd对于平稳随机过程，其平均功率为221[()][()]()2XEXtEXtGd若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即21()lim(,)2XTTGXeT21()lim()2XTTGEXT第三章随机信号的频域分析9/30随机信号分析性质1：非负实函数()0XG()()XXGG（2）实随机过程功率谱密度的性质性质2：偶函数性质3：平稳过程功率谱密度绝对可积性质4：若平稳过程的功率谱密度可以表示为的有理函数形式dGX)(00G0222220222220......)(bbaaGGnnnmmmXnm则必定满足：①②式中分母无实根(即在实轴上无极点),且。第三章随机信号的频域分析10/30随机信号分析（1）维纳－辛钦定理()()1()()2jXXjXXGRedRGed它成立的条件是绝对可积，即)()(XXRS和()()XXRdGd3.1.3功率谱密度与自相关函数之间的关系21(0)[()]()2XXREXtGd第三章随机信号的频域分析11/30随机信号分析对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳－辛钦定理表示成：00()2()cos1()()cosXXXXGRdRGd第三章随机信号的频域分析12/30随机信号分析00()4()cos1()()cos2XXXXFRdRFd2()0()00XXGF物理功率谱第三章随机信号的频域分析13/30随机信号分析例3.2：已知广义平稳过程的自相关函数为0,0A,Ae)(RX求过程的功率谱密度。00()()0022()112jjXjjGAeedAeedeeAAjjAjjA解：第三章随机信号的频域分析14/30随机信号分析例3.3：设X(t)为随机相位随机过程0()cos()Xtat其中a，为实常数；为随机相位，在均匀分布。可以推倒导出X（t）是广义平稳过程，其自相关函数为：0)2,0()cos(2)(02aRX求X(t)的功率谱密度()XG解：)]()([)cos(000200()[()()]2XaG第三章随机信号的频域分析15/30随机信号分析例3.4：已知平稳过程X(t)，具有功率谱密度为4216()1336XG求该过程的自相关函数和均方值。42221616/516/5()133649XG解：3215854)(eeRX154)0()(2XRtXE第三章随机信号的频域分析16/30随机信号分析例：设平稳随机过程，其中a为常数，Φ是服从[0，2π]的均匀分布的随机变量，Ω是具有分布密度为偶函数的随机变量，且Φ与Ω相互独立，试证的功率谱密度为()cos()Xtat)(xf()Xt2()()XGaf返回22()[cos()]cos()()22XaaREfd1()cos()()2xtXd傅里叶变换对1()cos()()2XXRGd2()()XGaf第三章随机信号的频域分析17/30随机信号分析（1）互谱密度的定义*1()lim[()()]2XYTTTGEXYT*1()lim[()()]2YXTTTGEYXT称为两个联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。3.2两个实随机过程的互功率谱密度第三章随机信号的频域分析18/30随机信号分析（2）互谱密度与互相关函数的关系()()1()()2jXYXYjXYXYGRedRGed()()1()()2jYXYXjYXYXGRedRGed第三章随机信号的频域分析19/30随机信号分析（3）实随机过程互谱密度的性质**()()()()XYYXYXXYGGGG性质1：性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。Re[()]Re[()]Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]Im[()]Im[()]XYYXYXXYXYYXYXXYGGGGGGGG性质3：如果X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零。()()0XYYXGG第三章随机信号的频域分析20/30随机信号分析性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有()()2()XYYXXYGGmm性质5：互谱密度的幅度平方满足2()()()XYXYGGG第三章随机信号的频域分析21/30随机信号分析例3.5：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为：0009)(3eRXY求互相关函数和()XYG()YXG解：30()()993jjXYXYGRedeej9()()()3YXXYXYGGGj返回第三章随机信号的频域分析22/30随机信号分析3.3白噪声（1）噪声的定义信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。误差的来源信号传输处理过程中串入了其它信号信息传输处理时，信道或设备不理想造成广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。3.3.1噪声第三章随机信号的频域分析23/30随机信号分析（2）噪声的分类从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声均匀噪声：具有均匀分布的噪声从功率谱的角度来看：白噪声：随机过程的功率谱为常数（无论是什么分布）。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。第三章随机信号的频域分析24/30随机信号分析（1）定义一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。0()2NNG)(2)(0NRN（2）白噪声的自相关函数3.3.2理想白噪声0()NG02N()NR00()2N第三章随机信号的频域分析25/30随机信号分析（3）白噪声的相关系数02220()1(0)()()2()0(0)(0)(0)2NNNNNNNNCRmNRm这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只要≠0，状态之间都是不相关的；白噪声过程的样本随时间起伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。第三章随机信号的频域分析26/30随机信号分析白噪声是一个理想化的数学模型。在物理上是不存在的。任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总存在一定的相关性。无法构造出脉冲宽为0的冲激(t)做为样本。平均功率无穷大任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的（4）白噪声的特点)0(2)0(0NNNNRP数学上有很好的分析性质常数功率谱密度冲激自相关函数)()(NNGR是大多数噪声的模型第三章随机信号的频域分析27/30随机信号分析白噪声可以替代系统中的宽带噪声在实际应用中，系统带宽总是有限的，无论是否是理想白噪声，通过系统后的结果都一样。只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内是一常数，就可以把它近似为白噪声来处理。0)(XG0)(YG0)(H0)(NG高斯白噪声在任意两个时刻是相互独立的，且具有各态历经性第三章随机信号的频域分析28/30随机信号分析若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。3.3.2理想限带白噪声（1）定义分类低通型限带白噪声带通型限带白噪声第三章随机信号的频域分析29/30随机信号分析（2）低通白噪声0/2()0NGG其它自相关函数0sin(2)()2(2)NGR0(0)2NGR平均功率功率谱密度()NR0420G220()NG第三章随机信号的频域分析30/30随机信号分析000/2()220NGG其它00sin(2)()cos2(2)NGR（3）带通白噪声自相关函数平均功率功率谱密度0(0)2NGR000－＋22()NG0()NR42返回