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3.2古典概型3.2.1古典概型1.理解基本事件的概念,能准确表示出基本事件,求出基本事件个数.2.理解古典概型的概念及特点.掌握古典概型的概率计算公式.3.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率.1.基本事件(1)定义：一次试验中,所有出现的基本结果中不能再分的最简单的_________称为该试验的基本事件.(2)特点：①任何两个基本事件是_____的;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.随机事件互斥2.古典概型将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_______.(2)每个基本事件出现的可能性_____.3.古典概型的概率计算公式古典概型概率计算公式P(A)=.m表示___________________________,n表示_______________.有限个相等mn事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数1.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是()【解析】选D．共有８个基本事件，只有三次全是反面不合要求．故至少一次正面朝上的概率是1357A.B.C.D.88887.82.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为_________．【解析】甲、乙、丙三人中选取两人,包含的基本事件为(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)共三个,其中含有甲的基本事件数为2个,所以P=.答案：23233.掷一枚骰子,骰子落地时向上的数是奇数的概率为_______．【解析】骰子落地时有1,2,3,4,5,6共6种结果,向上的数为奇数时有１,３,５共3种结果,所以其概率为.答案：12124.有长度分别为2，3，4，5的四条线段，则以其中三条线段为边可以构成三角形的概率是______．【解析】共有四种不同组合：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中(2,3,5)不能构成三角形，所以P(构成三角形)=答案：3.434一、基本事件根据掷硬币试验,思考下列问题：探究1：抛掷两枚质地均匀的硬币,有哪几种可能结果?连续抛掷三枚质地均匀的硬币,有哪几种可能结果?提示：抛掷两枚硬币的结果有：(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)共4种可能结果.抛掷3枚硬币有：(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)共8种可能结果.探究2：上述试验中的每一个结果都是随机事件,我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中,任何两个基本事件是什么关系?提示：由于任何两种结果都不可能同时发生,所以它们的关系是互斥关系.【探究总结】1.基本事件应满足的条件(1)不同的基本事件在一次试验中不可能同时发生.(2)所有基本事件的和应为必然事件.2.试验和基本事件的关系做一次试验只能产生一个基本事件,即一个基本事件是某一次试验出现的结果;不能把几次试验的结果混为一个基本事件.二、古典概型的判断探究1：一个容器内有10个大小、形状完全相同的球,将球编号为1～10.把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球.思考下面的问题：(1)从容器中任取一球可能出现的不同情况有多少种?提示：因为共有10个球,所以任取一球可能的情况有10种.(2)每个编号的球被取出的机会是否相等?提示：相等,因为这些球的大小、形状完全相同,所以10个球中,任意一个球被取出的机会相等,均为.(3)这样的随机试验是古典概型吗?提示：是古典概型.试验的结果共有10个,为有限个;每个基本事件出现的可能性均等,故是古典概型.110探究2：根据古典概型的概念思考下面的问题：(1)向一圆面内随机投一个点,若该点落在圆内任意一点都是等可能的,是古典模型吗?为什么?提示：不是.因为试验的所有可能结果是圆内所有点,试验的所有可能结果数是无限的.(2)射击运动员向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……命中1环和命中0环(即不命中),你认为这是古典概率模型吗?为什么?提示：不是.因为所有可能的结果不是等可能的.【探究总结】1.古典概型的特征(1)有限性：所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的.2.古典概型的判断一个试验是不是古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.只有两个特征都具备时,这个试验才可看作古典概型.三、古典概型的概率公式探究1：根据古典概型的概率计算公式P(A)=,思考下面的问题.A包含的基本事件的个数基本事件的总数(1)该公式适用的条件是什么?提示：该公式适用于古典概型的概率计算.(2)利用古典概型的概率计算公式,计算随机事件的概率的关键是什么?提示：解决古典概型的关键是分清基本事件数n和事件A所包含的基本事件个数.探究2：根据古典概型的概念和概率公式回答下列问题：(1)如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,那么事件A的概率为多少?提示：出现的可能性都相等,每个结果出现的可能性均为,事件A包含的基本事件数有m个,所以事件A发生的概率为m×1n1mnn．(2)n次试验中,随机事件A发生m次,随机事件A发生的频率为;如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,古典概型的概率公式P(A)=.二者有什么区别?mnmn提示：如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,若事件A包含的基本事件数有m个,由于m,n都是定值,所以事件A的概率P(A)=是个定值.而频率中的m,n均随试验次数的变化而变化,但一般来说频率随着试验次数的增加总是趋近于P(A).mnmn【探究总结】使用古典概型概率公式的注意点(1)首先要判断该概率模型是不是古典概型.(2)要找出随机事件A所包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.类型一求基本事件及基本事件数1.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则基本事件有.2.将一个骰子先后抛掷2次,观察向上的点数.(1)共有多少种不同的结果?(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种?【解题指南】1.按一定的顺序进行列举.2.(1)列表,找出所有可能的情况.(2)判断,在表格中找出符合要求的结果.【自主解答】1.基本事件有{数学,计算机},{数学,航空模型},{计算机,航空模型},共3个.答案：{数学,计算机},{数学,航空模型},{计算机,航空模型}2.(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果,其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2号骰子的结果,同时掷两个骰子的结果共有36种.1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(2)记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A,则事件A的结果有12种.【延伸探究】题2中用a,b分别表示先后各抛一次所出现的点数,若点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上,且使此事件的概率最大,则m的值为.【解析】由表知,a+b的和可以取到2,3,…,12;和为7的有6个基本事件组成,包含的基本事件数最多.答案：7【规律总结】1.列基本事件的三种方法(1)列举法：一一列出所有基本事件的结果,一般适用于较简单的问题;(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法;(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求.2.列举基本事件的注意点列举时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定次序进行列举,防止重复和遗漏.采用列表、树状图等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法.类型二古典概型的判断1.下列概率模型中,是古典概型的为.(1)从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率.(2)从1,2,3,…,10中任取一个整数,求取到1的概率.(3)向一个正方形ABCD内任意投一点P,求点P刚好与点A重合的概率.2.袋中有形状、大小相同的4个白球,2个黑球,3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.(1)如果把每个球的编号看作一个基本事件,建立概率模型,问该模型是否为古典概型?(2)若以球的颜色为基本事件,以这些基本事件建立概率模型,该模型是否为古典概型?【解题指南】1.从有限性和等可能两个角度考虑.2.根据古典概型的定义进行判断.【自主解答】1.(1)基本事件有无限个.(2)基本事件有10个,等可能发生.(3)基本事件有无限个.答案：(2)2.(1)由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,所以做一次试验共有9种不同的结果;又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.(2)由于9个球共三种颜色,因此共有三个基本事件,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为,同理摸到黑球的可能性为,摸到红球的可能性为显然三个基本事件出现的可能性不等,故不是古典概型.492931.93【规律总结】古典概型的判断方法判断一个事件是否为古典概型,关键是看它是否具备古典概型的两个特征：(1)一次试验中,所有可能出现的结果只有有限个.(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的.【变式训练】判断下列试验是不是古典概型.(1)从直径规格为100mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽取一个,测量其直径.(2)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.【解析】(1)不是.基本事件不是有限个.(2)不是.质地不均匀,反面朝上与正面朝上的可能性不同.类型三古典概型的概率计算1.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率是.2.一盒中有6个球,其中4个白球,2个红球,从盒中任取2个球,求取出的2个球都是白球的概率.【解题指南】1.对满足条件的事件逐一列举,再求概率.2.先列举所有的基本事件,再列出事件A所包含的基本事件,从而求出P(A).【自主解答】1.基本事件有10种：金木、金火、金水、金土、木火、木土、木水、水火、水土、火土.相克的有5种,所以不相克的也有5种.故不相克的概率是.答案：12122.记“取出的2个球都是白球”为事件A.设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.“从盒中的6个小球中任取2个球”所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.事件A所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.所以取出的2个球都是白球的概率为P(A)=62.155【延伸探究】题2条件不变,求取出的2个球中1个白球,1个红球的概率.【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4;2个红球的编号为5,6.从盒中的6个小球中任取2个所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.记“取出的2球中1个白球,1个红球”为事件B,则事件B所包含的基本事件有：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5)