2017届高考数学大一轮复习专题1函数与导数综合题的解答解读

专题一函数与导数综合题的解答函数与导数既是高中数学最重要的基础知识，又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容和形式也是丰富多彩的．对于函数，高中数学各章节的知识都渗透着函数的思想与方法，函数的影子几乎闪现于每个问题之中．对于函数内容的备考，首先要掌握基本概念和基本运算，牢记基本函数的图像与性质，重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用．导数属于新增加的内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为函数的考查提供了广阔天地，处于一种特殊的地位．主要考查点有与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处．探究一用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性就是根据导数与函数单调性的关系，确定函数的单调区间．研究函数的单调性，其步骤是：(1)先求出定义域；(2)求导，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f′(x)；(3)解不等式，不等式f′(x)＞0的解集就是函数f(x)的递增区间，不等式f′(x)＜0的解集就是函数f(x)的递减区间．[例1]已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数的单调区间；(2)当0≤a＜12时，讨论f(x)的单调区间．【审题】求f′(x)，解不等式．【转化】(1)由f′(x)＝0对f(x)的定义域(0，＋∞)分区间，判断每一区间内f′(x)的符号．(2)分离导函数中变号部分，根据a的取值讨论导函数的符号．【求解】(1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝x－1x＋2x2，x∈(0，＋∞)．由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2(舍去)．所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．故当a＝－1时，函数f(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]．(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．②当0＜a＜12时，由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1a－1.此时1a－1＞1＞0，所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；x∈1，1a－1时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；x∈1a－1，＋∞时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上所述，当a＝0时，函数f(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞]上单调递增；当0＜a＜12时，函数f(x)在(0,1]上单调递减，在1，1a－1上单调递增，在1a－1，＋∞上单调递减．【反思】导数法是研究函数单调性的重要工具，利用导数研究函数单调性应注意两个方面：一是求导之后函数的定义可能会发生变化，要在函数的定义域内分析导函数的符号；二是若求函数的单调区间可直接转化为f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的解集求解，若函数在区间M上的单调递增(递减)，则应转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间M上的恒成立问题求解．探究二函数的极值、最值问题研究函数f(x)的极值是通过检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左、右函数值的符号来判定的，因此难点是如何判定这个根左、右函数f′(x)值的符号，并与函数f(x)的极大值、极小值对应．化解的方法是列出x、f′(x)、f(x)变化的图表，得到f′(x)在每个区间上的符号，即可得到函数对应的极大值、极小值．函数极值的另一个难以理解的问题是极大值、极小值的大小关系，即函数的极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．突破这一难点的方法是正确理解极值是一个局部的概念，可以通过画出函数在整个定义域上的图像，对比图像进行分析判断．[例2]已知f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)＋x2－ax＋3≥0恒成立，求实数a的取值范围．【审题】参变分离求最值．【转化】(1)求f′(x)，利用单调性求最值；(2)分离参数→构造函数求最值→求导→判断单调性→分类讨论定最值．【求解】(1)f′(x)＝lnx＋1，当x∈0，1e，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈1e，＋∞，f′(x)＞0，f(x)单调递增．①0＜t＜1e＜t＋2，即0＜t＜1e时，f(x)min＝f1e＝－1e；②1e≤t＜t＋2，即t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt.所以f(x)min＝－1e，0＜t＜1e，tlnt，t≥1e.(2)由2f(x)＋x2－ax＋3≥0，即2xlnx＋x2－ax＋3≥0，因为x＞0，所以a≤2lnx＋x＋3x.设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝x＋3x－1x2.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，都有a≤h(x)min＝4.【反思】导数法求解函数最值的实质是利用函数的单调性确定最值．应该注意三个问题：一是函数定义域，函数与其导函数的定义域可能不一致，所以在利用导函数判断函数单调性时要注意函数定义域；二是准确求导；三是要注意极值与最值的区别，即必须把函数在区间上的极值点与函数在区间的端点值进行比较，才能确定最值．探究三导数与不等式利用导数法证明不等式的关键是构造函数，函数构造出来后，用导数法去研究这个函数的单调性或最值，通过单调性或最值找到不等关系，实现不等式的证明．[例3](1)证明：当x∈[0,1]时，22x≤sinx≤x；(2)若不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．审题视点Ⅰ.题目条件：x∈[0,1]及函数y＝22x，y＝sinx，y＝x，y＝ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx.Ⅱ.解题目标：(1)比较sinx与22x，sinx与x的大小关系．(2)不等式恒成立，求a.Ⅲ.转化关系：构造函数F(x)＝sinx－22x，H(x)＝sinx－x，f(x)＝ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4.当x∈[0,1]时，F(x)≥0，H(x)≤0，f(x)max≤0.【求解】(1)证明：记F(x)＝sinx－22x，则F′(x)＝cosx－22.当x∈0，π4时，F′(x)0，F(x)在0，π4上是增函数；当x∈π4，1时，F′(x)0，F(x)在π4，1上是减函数．又F(0)＝0，F(1)0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥22x.记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cosx－10，所以H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，22x≤sinx≤x，x∈[0,1]．(2)记f(x)＝ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4，则f′(x)＝a＋2x＋3x22＋2cosx－2(x＋2)sinx.记G(x)＝f′(x)，则G′(x)＝2＋3x－4sinx－2(x＋2)cosx.当x∈(0,1)时，cosx＞12，因此G′(x)＜2＋3x－4×22x－(x＋2)＝(2－22)x＜0于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此当x∈[0,1]时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)0，从而f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立．∴a≤－2.【反思】①证明不等式f(x)≥g(x)，常采用构造函数法H(x)＝f(x)－g(x)，从而证明H(x)≥0即可．②若f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，从而求a的范围．探究四解决实际问题的导数法对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法，因此，导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．[例4]如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？【审题】关键词：安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．【转化】(1)列出翻转前后的解析式，两式相除可得．(2)找出截面的宽与高的关系式，列出安全负荷与截面的宽(或高)的解析式．【求解】(1)安全负荷y1＝k·ad2l2(k为正常数)，翻转90°后，安全负荷y2＝k·da2l2.∴y1y2＝da，分a＝d,0＜a＜d，a＞d＞0三种情况讨论．a＝d时，y1＝y2，安全负荷不变；0ad时，y1y2，安全负荷变小；ad0时，y1y2，安全负荷变大．(2)设截取的宽为a(0＜a＜2R)，高为d，则a22＋d2＝R2，则a2＋4d2＝4R2.安全负荷φ(a)＝aR2－14a2，求φ′(x)，判定单调区间，当a＝233R，d＝63R时，φ(a)最大，即安全负荷最大【反思】利用导数解决实际生活中的最优化问题时，首先应根据已知条件建立函数模型，然后利用导数分析函数模型，求解相关最值．要注意变量的实际意义和取值范围．