2017届高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 第二节 圆与直线、圆与四边形课件 理

选修4－1几何证明选讲第二节圆与直线、圆与四边形基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理；2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。J基础知识自主学习知识梳理1．圆周角定理及其推论(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的________。(2)推论：①推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也________。②推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弧是________。一半一半相等相等直角半圆2．圆的切线的判定和性质及弦切角定理(1)切线的判定定理：经过半径的______并且_________这条半径的直线是圆的切线。(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的______。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过_______。推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过________。(3)切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长______。(4)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的__________；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的________。外端垂直于半径切点圆心相等圆周角一半3．与圆有关的比例线段(1)切割线定理及推论：定理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的_____________。如图(1)，PT是⊙O的切线，T是切点，PAB是⊙O的割线，则PT2＝_________。推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的_____，等于另一条割线上对应线段长的____。如图(2)，PAB和PCD是⊙O的两条割线，则PA·PB＝___________。比例中项PA·PB图(1)图(2)积积PC·PD(2)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积_____。如图，圆的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，则PA·PB＝__________。相等PC·PD4．圆内接四边形(1)圆内接四边形的性质定理及推论定理：圆内接四边形的对角_______。推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的_________。(2)四点共圆的判定定理及推论定理：如果一个四边形的_____________，那么这个四边形四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于其________，那么这个四边形的四个顶点共圆。(3)托勒密定理圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的_______。互补内对角内对角互补内对角乘积基础自测[练一练]1．如图，CD是⊙O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，若∠CDB＝20°，则∠DBE＝________。解析连接CB。因为CD为圆的直径，则∠CBD＝90°，又因为∠CDB＝20°，所以∠DCB＝70°。又因为AE为圆的切线，所以∠DBE＝70°。70°2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________。解析连接CP。由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB。∴AP＝3.6。∴BP＝AB－AP＝6.4。1题图2题图6.43.从圆外一点P向圆O所引的一条切线为PA(切点为A)，连接PO并延长交圆O于点C，B，若PA＝，PB＝3，则圆O的周长为________。解析由切割线定理，得PA2＝PC·PB。所以PC＝1。从而BC＝2，圆O的半径R＝1，周长为2πR＝2π。3题图2π4．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________。解析连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°。∴∠BDC＝∠BOC＝50°。50°4题图5．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F若AC＝2AE，则EF＝________。解析由圆内接四边形的性质，可知∠AEF＝∠ACB，∠AFE＝∠ABC，所以△AEF∽△ACB。所以AEAC＝EFCB。又因为AC＝2AE，CB＝6，所以EF＝12×6＝3。35题图R热点命题深度剖析【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E。考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题(1)求∠DAC的度数；【解】由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°。(2)求线段AE的长。【解】解法一：连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌△Rt△BAC，所以AE＝BC＝3。图(1)图(2)解法二：连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3。【规律方法】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小。(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角。变式训练1如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点。求证：(1)∠ACE＝∠BCD；证明因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC。又因为EC与圆相切于点C，根据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD。(2)BC2＝BE·CD。证明因为∠ECA等于AC上的圆周角，∠ACB等于AB上的圆周角，所以∠ECB等于CAB上的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD。【例2】(2015·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点。(1)证明：A、P、O、M四点共圆；考点二圆内接四边形的性质及判定【解】证明：连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP。因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°。由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆。(2)求∠OAM＋∠APM的大小。【解】由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM。由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°。所以∠OAM＋∠APM＝90°。【规律方法】证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等。变式训练2如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H。(1)求证：C，D，E，F四点共圆；解证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD与Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆。解C，D，E，F四点共圆⇒GE·GF＝GC·GDGH切⊙O于点H⇒GH2＝GC·GD⇒GH2＝GE·GF，又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5。(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长。【例3】如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E。证明：(1)BE＝EC；考点三与圆有关的比例线段【证明】连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA。因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC。因此BE＝EC。(2)AD·DE＝2PB2。【证明】由切割线定理得PA2＝PB·PC。因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB。由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2。【规律方法】与圆有关的比例线段问题的常见类型及解题策略(1)证明比例线段(或线段乘积)。利用相交弦定理或切割线定理证明。(2)求线段的长度。可依题已知条件、相交弦定理或切割线定理找到比例线段，进而求线段长度。(3)证明三角形相似。可依题设及相交弦定理、切割线定理找到三角形相似的条件即可证明。(1)证明：DF·EF＝OF·FP；变式训练3(2016·濮阳模拟)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AC＝AE，DE交AB于点F。证明连接OE。因为AC＝AE，所以∠AOE＝∠CDE。所以∠EOF＝∠PDF。又∠EFO＝∠PFD，所以△OFE∽△DFP，所以OFDF＝EFPF。所以DF·EF＝OF·FP。(2)当AB＝2BP时，证明：OF＝BF。证明设BP＝a，由AB＝2BP，得AO＝BO＝BP＝a，由相交弦定理得：DF·EF＝AF·BF，所以AF·BF＝OF·FP。所以OF·(a＋BF)＝(a＋OF)·BF，所以OF＝BF。S思想方法感悟提升⊙2个结论——直线与圆位置关系的两个相关结论(1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心；(2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长。⊙2种思路——解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”。在证明中有时还要借助中间比来代换。