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第七章立体几何第七节立体几何中的空间向量方法基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。J基础知识自主学习知识梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量。(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为____________非零n·a＝0，n·b＝0。2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔_________。(2)设直线l的方向向量为ν，与平面α共面的两个不共线向量ν1和ν2，则l∥α或lα⇔_____________________________。(3)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔。(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔。ν1∥ν2存在两个实数x，y，使ν＝xν1＋yν2ν⊥uu1∥u23．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2⇔_________⇔___________。(2)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔____。(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔________⇔__________。ν1⊥ν2ν1·ν2＝0ν∥uu1⊥u2u1·u2＝04．夹角的计算(1)直线间的夹角①两直线的夹角：当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在__________内的角叫作两直线的夹角。②异面直线的夹角：当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角。0，π2直线l1和直线AB设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角θs1与s2的夹角〈s1，s2〉范围_____________________________求法cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝_______cos〈s1，s2〉＝________关系当0〈s1，s2〉≤π2时，θ＝_________；当π2〈s1，s2〉π时，θ＝π－________0θ≤π20〈s1，s2〉π|s1·s2||s1||s2|s1·s2|s1||s2|〈s1，s2〉〈s1，s2〉(2)直线与平面的夹角平面外一条直线与它的夹角叫作该直线与此平面的夹角。设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈s，n〉|＝__________。在该平面内的投影|s·n||s||n|(3)平面间的夹角如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R。我们把叫作平面π1与π2的夹角。直线l1和l2的夹角已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于__________；当π2〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于________________。〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉5．距离的计算(1)点到直线的距离空间一点A到直线l的距离的算法框图如图：(2)平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求。(3)点到平面的距离空间一点A到平面π的距离的算法框图如图：点到直线的距离基础自测[判一判](1)直线的方向向量是唯一确定的。()解析错误。直线的方向向量有无穷多个，不是唯一确定的。(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为ν1＝(1,0，－1)，ν2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行。()解析正确。因为ν2＝－2ν1，所以ν1与ν2共线，所以l1与l2的位置关系是平行。×√(3)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23。()解析正确。设平面ABC的单位法向量是n0＝(x，y，z)，则有n0·AB→＝0，n0·AC→＝0，解得y＝－z，x＝12z，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23。√(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1⊥n2⇔α⊥β。()解析正确。根据法向量的概念可知，当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面也互相垂直。(5)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角。()解析错误。两直线的方向向量的夹角与这两条直线所成的角相等或互补。(6)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角。()解析错误。若直线的方向向量和平面的法向量的夹角为θ，直线与平面的夹角为α，则sinα＝|cosθ|。√××(7)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角。()解析错误。两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角。(8)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面夹角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]。()解析正确。由异面直线的夹角、直线与平面的夹角及二面角的定义可知，两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面的夹角范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]。×√[练一练]1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l与α斜交解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n。∴l⊥α。答案B解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12，故θ＝30°。答案A2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°3．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1解析P点到平面OAB的距离为d＝|OP→·n||n|＝|－2－6＋2|9＝2。答案B4．已知平面α和β的法向量分别是(－1,3,4)和(x,1，－2)，若α⊥β，则x＝________。解析因为α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此(－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即x＝－5。－55．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________。解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，E1,0，12，D(0,1,0)，23∴A1D→＝(0,1，－1)，A1E→＝1,0，－12。设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则y－z＝0，1－12z＝0，∴y＝2，z＝2。∴n1＝(1,2,2)。∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝23×1＝23。故所成的锐二面角的余弦值为23。第一课时证明平行与垂直R热点命题深度剖析考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。证明：PQ∥平面BCD。【证明】证法一：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)，M(0，2，1)。设点C的坐标为(x0，y0,0)。因为AQ→＝3QC→，所以Q34x0，24＋34y0，12。又P为BM的中点，故P0,0，12，所以PQ→＝34x0，24＋34y0,0。又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ→·a＝0。又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD。证法二：在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，D，M的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)。∵CF→＝14CD→，设点F坐标为(x，y,0)则(x－x0，y－y0,0)＝14(－x0，2－y0,0)，∴x＝34x0，y＝24＋34y0。∴OF→＝34x0，24＋34y0,0。又由证法一知PQ→＝34x0，24＋34y0,0，∴OF→＝PQ→。∴PQ∥OF。又PQ⃘平面BCD，OF平面BCD，∴PQ∥平面BCD。【规律方法】用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线。(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。注：应说明直线在平面外。(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题。变式训练1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点。求证：PB∥平面EFG。证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)。∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)。设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2。∴PB→＝2FE→＋2FG→。又∵FE→与FG→不共线，∴PB→、FE→与FG→共面。∵PB⃘平面EFG，∴PB∥平面EFG。【例2】(2015·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2。考点二利用空间向量证明垂直问题(1)求证：AP⊥BC；【证明】如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O－xyz。则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)。于是AP→＝(0,3,4)，BC→＝(－8,0,0)，∵AP→·BC→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，∴AP→⊥BC→，即AP⊥BC。(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC。【证明】由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且点M在线段AP上，∴AM→＝35AP→＝0，95，125，又BC→＝(－8,0,0)，AC→＝(－4,5,0)，BA→＝(－4，－5,0)，∴BM→＝BA→＋AM→＝－4，－165，125，∵AP→·BM→＝(0,3,4)·－4，－165，125＝0，∴AP→⊥BM→，即AP⊥BM，又根据(1)的结论知AP⊥BC，∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC。又AM平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC。【规律方法】用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零。(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示。(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。变式训练2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的