2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.2 一元二次不等式课件 理

第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。J基础知识自主学习知识梳理1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________________________________Rax2＋bx＋c0(a0)的解集_____________∅∅{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x1xx2}在不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)中，如果二次项系数a0，则可根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解。2．用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的求解过程：基础自测[判一判](1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0。()解析正确。(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2。()解析正确。(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R。()解析错误。当a0时，ax2＋bx＋c0的解集为R；当a0时，ax2＋bx＋c0的解集为∅。√√×(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0。()解析错误。当a＝0，b＝0，c＝－1时，不等式显然成立。(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集。()解析正确。借助二次函数图像可知。√×[练一练]1．(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2x4}，则P∩Q＝()A．[3,4)B．(2,3]C．(－1,2)D．(－1,3]解析因为P＝{x|x≤－1或x≥3}，所以P∩Q＝{x|3≤x4}，故选A。答案A解析由x－3x－1≤0，得x－3x－1≤0，x－1≠0，解之得1x≤3。答案C2．不等式x－3x－1≤0的解集为()A．{x|x1或x≥3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1x≤3}D．{x|1x3}解析由题意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，且a0。则a＝－12，b＝－2。即a＋b＝－14。故选D。答案D3．不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b的值是()A．10B．－10C．14D．－144．a0时，不等式x2－2ax－3a20的解集是________________。解析∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a。又a0，∴不等式的解集为{x|3ax－a}。5．不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________________。解析∵不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×40，即a216。∴a4或a－4。{x|3ax－a}(－∞，－4)∪(4，＋∞)R热点命题深度剖析考点一一元二次不等式的解法【例1】(1)(2016·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)0的解集是()A．－∞，－32∪12，＋∞B．－32，12C．－∞，－12∪32，＋∞D．－12，32【解析】由f(x)0，得ax2＋(ab－1)x－b0，又其解集是(－1,3)，∴a0，且1－aba＝2，－ba＝－3，解得a＝－1或a＝13(舍去)，∴a＝－1，b＝－3。∴f(x)＝－x2＋2x＋3。∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3。由－4x2－4x＋30，得4x2＋4x－30，解得x12或x－32，故选A。【答案】A(2)求下列不等式的解集：①－x2＋8x－30；②ax2－(a＋1)x＋10。【解】①因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－13，x2＝4＋13。又二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}。②若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1。若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0，解得x1a或x1。1)当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0，无解；2)当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；3)当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a。综上所述：当a0时，解集为{x|x1a或x1}；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x|1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x|1ax1。【规律方法】(1)解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式。二判：计算对应方程的判别式。三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根。四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集。(2)解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据①二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系；③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。变式训练1(1)已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a0的解集为________________。解析由于不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为x|－13≤x≤2，可知a0，且－13，2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根。所以－13＋2＝－ba，－13×2＝ca，所以b＝－53a，c＝－23a。所以不等式cx2＋bx＋a0可化为－23ax2－53ax＋a0，由于a0，x|－3x12所以23x2＋53x－10，即2x2＋5x－30，解得－3x12。所以所求解集为x|－3x12。(2)解下列不等式：①0x2－x－2≤4；②x2－4ax－5a20(a≠0)。解①原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4⇔x2－x－20，x2－x－6≤0⇔x－2x＋10，x－3x＋2≤0⇔x2或x－1，－2≤x≤3。借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}。②由x2－4ax－5a20知(x－5a)(x＋a)0。由于a≠0故分a0与a0讨论。当a0时，x5a或x－a；当a0时，x－a或x5a。综上，a0时，解集为{x|x5a或x－a}；a0时，解集为{x|x5a或x－a}。一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系。在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换。对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围。考点二一元二次不等式恒成立问题角度一：形如f(x)≥0(x∈R)确定参数范围1．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为___________________。解析因为不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，所以Δ＝64sin2α－32cos2α≤0，即64sin2α－32＋64sin2α≤0，解得0≤sinα≤12(0≤α≤π)。因为0≤α≤π，所以α∈。角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．已知函数f(x)＝mx2－mx－1。(1)若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；解由题意可得m＝0或m0，Δ＝m2＋4m0⇔m＝0或－4m0⇔－4m≤0。故m的取值范围是(－4,0]。(2)若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围。解解法一：要使f(x)5－m在x∈[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立。令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]。当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－60，所以m67，则0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－60，所以m6，所以m0。综上所述，m的取值范围是mm67。解法二：因为f(x)－m＋5⇔m(x2－x＋1)6，因为x2－x＋10，所以m6x2－x＋1对于x∈[1,3]恒成立，只需求6x2－x＋1的最小值，设g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1,3]，设h(x)＝x2－x＋1＝x－122＋34，h(x)在[1,3]上为增函数。则g(x)在[1,3]上为减函数，所以[g(x)]min＝g(3)＝67，所以m67。所以m的取值范围是－∞，67。角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．(2016·新余模拟)对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求x的取值范围。解因为任意k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x－2k＋40恒成立，所以f(k)＝k(x－2)＋x2－4x＋40为一次函数，所以f－10，f10，所以－1×x－2＋x2－4x＋40，x－2＋x2－4x＋40，解得x1或x3，所以x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)。4．已知不等式mx2－2x＋m－20。(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；解对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－20恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图像全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－20，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图像可知有m0，Δ＝4－4mm－20，解得m1－2，综上可知m的取值范围是(－∞，1－2)。(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。解设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋10知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)0即可，即2x2＋2－2x－20，解得0x1。即x的取值范围是(0,1)。【规律方法】(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方。另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值。(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。【例2】(1)不等式(x＋1)(x－2)(1－x)0的解集为____________________。【解析】原不等式等价于(x－1)(x－2)(x＋1)0。各因式的根分别为1,2，－1，结合图，可得不等式的解集为{x|x－1，或1x2}。考点三一元二次不等式的应用{x|x－1，或1x2}(2)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的