线性代数-第三章-线性方程组-33

线性方程组有无解的等价提法mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组可以分别写为mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211和mnmnnnmmbbbxaaaxaaaxaaa2121222212112111线性方程组有无解的等价提法mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组可以分别写为Axb和x1a1x2a2xnanb因此线性方程组Axb是否有解就相当于是否存在一组数x1k1x2k2xnkn使线性关系式k1a1k2a2knanb成立例如b(2,1,1)a1(1,0,0)a2(0,1,0)a3(0,0,1)则有b2a1a2a3即b是向量组a1a2a3的线性组合或者说b可由a1a2a3线性表示一、向量组的线性组合定义35(线性组合与线性表示)对于给定向量ba1a2as如果存在一组数k1k2ks使关系式bk1a1k2a2ksas成立则称向量b是向量组a1a2as的线性组合或称向量b可以由向量组a1a2as线性表示一、向量组的线性组合定义35(线性组合与线性表示)对于给定向量ba1a2as如果存在一组数k1k2ks使关系式bk1a1k2a2ksas成立则称向量b是向量组a1a2as的线性组合或称向量b可以由向量组a1a2as线性表示定理33(判断方法)设ba1a2an是m维列向量组则向量b可由向量组a1a2an线性表示的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵与以a1a2anb为列向量的矩阵有相同的秩提示根据方程x1a1x2a2xnanb有解的充要条件定理33(判断方法)设ba1a2an是m维列向量组则向量b可由向量组a1a2an线性表示的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵与以a1a2anb为列向量的矩阵有相同的秩定理的另一叙述设ba1a2an是m维行向量组则向量b可由向量组a1a2an线性表示的充分必要条件是以a1Ta2TanT为列向量的矩阵与以a1Ta2TanTbT为列向量的矩阵有相同的秩定理33(判断方法)设ba1a2an是m维列向量组则向量b可由向量组a1a2an线性表示的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵与以a1a2anb为列向量的矩阵有相同的秩例1任何一个n维向量a(a1,a2,,an)都是n维向量组e1(1,0,,0)e2(0,1,,0)en(0,0,,1)的线性组合这是因为aa1e1a2e2anen向量组e1e2en称为Rn的初始单位向量组例2零向量是任何一组向量的线性组合这是因为o0a10a20as例3向量组a1a2as中的任一向量ai(1is)都是此向量组的线性组合这是因为ai0a11ai0as例4判断向量b1(4,3,1,11)与b2(4,3,0,11)是否各为向量组a1(1,2,1,5)a2(2,1,1,1)的线性组合若是写出表示式设x1a1x2a2b1解1115111312421)(121TTTbaa9903305504210000001104210000001102011115111312421)(121TTTbaa9903305504210000001104210000001102011115111312421)(121TTTbaa9903305504210000001104210000001102011115111312421)(121TTTbaa990330550421000000110421000000110201秩(a1Ta2Tb1T)秩(a1Ta2T)且存在x12x21使2a1a2b所以b1可由a1a2线性表示因为二、线性相关与线性无关定义36(向量组的线性相关性)对于向量组a1a2as如果存在一组不全为零的数k1k2ks使关系式k1a1k2a2ksaso成立则称向量组a1a2as线性相关如果上式当且仅当k1k2ks0时成立则称向量组a1a2as线性无关定理34(判断方法)设a1a2an是m维列向量组则a1a2an线性相关的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n提示根据方程x1a1x2a2xnano有非零解的充要条件定理34(判断方法)设a1a2an是m维列向量组则a1a2an线性相关的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n定理的另一叙述设a1a2an是m维行向量组则a1a2an线性相关的充分必要条件是以a1Ta2TanT为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n定理的另一叙述设a1a2an是m维列向量组则a1a2an线性无关的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵的秩小等于向量的个数n定理34(判断方法)设a1a2an是m维列向量组则a1a2an线性相关的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n推论1设n个n维向量ai(a1ia2iani)(i12n)则向量组a1a2an线性相关的充分必要条件是0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa提示此时齐次线性方程组x1a1x2a2xnano总有非零解定理34(判断方法)设a1a2an是m维列向量组则a1a2an线性相关的充分必要条件是以a1a2an为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n推论1设n个n维向量ai(a1ia2iani)(i12n)则向量组a1a2an线性相关的充分必要条件是0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa推论2当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时此向量组线性相关提示此时齐次线性方程组x1a1x2a2xnano总有非零解例5Rn中的初始单位向量组e1e2en是线性无关的这是因为行列式所以e1e2en线性无关01100010001|)(|21neee01100010001|)(|21neee例6一个零向量线性相关而一个非零向量线性无关因为当ao时对任意k0都有kao成立当且仅当k0时kao才成立而当ao时例5Rn中的初始单位向量组e1e2en是线性无关的这是因为行列式所以e1e2en线性无关01100010001|)(|21neee01100010001|)(|21neee例7判断向量组a1(1,2,1,5)a2(2,1,1,1)a3(4,3,1,11)是否线性相关解因为1115111312421A990330550421000000110421秩(A)23所以向量组a1a2a3)线性相关1115111312421A9903305504210000001104211115111312421A990330550421000000110421解因为例8判断向量组a1(1,2,0,1)a2(1,3,0,1)a3(1,1,1,0)是否线性相关011100132111A120100110111300100110111000100110111秩(A)3所以此向量组线性无关恰等于向量组中向量的个011100132111A120100110111300100110111000100110111011100132111A120100110111300100110111000100110111011100132111A120100110111300100110111000100110111证设x1b1x2b2x3b3o即例9证明如果向量组a1a2a3线性无关则向量组b1a1a2b2a2a3b3a3a1也线性无关x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)o整理得(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3o因为向量组a1a2a3线性无关所以必有000322131xxxxxx又因为系数行列式03110011101所以方程组只有零解即只有x1x2x30时x1b1x2b2x3b3o才成立从而b1b2b3线性无关又因为系数行列式03110011101所以方程组只有零解定理35如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关则整个向量组线性相关定理的另一叙述线性无关的向量组组中任何一部分组皆线