教育统计学6

第六章概率及概率分布科学研究的目的不仅限于对已掌握的数据进行描述，更重要的是利用这些数据的信息，对数据所属总体的某种特征，作出具有一定可靠程度的估计和推断。从样本出发来推断总体分布的过程称为统计推断。概率论是推论统计的数学基础。统计学习与初中知识的衔接《义务教育数学课程标准（实验稿）》将“统计与概率”列为初中数学四个知识领域之一学段第一学段（1～3年级）第二学段（4～6年级）第三学段（7～9年级）统计与概率·数据统计活动初步·不确定现象·简单数据统计过程·可能性·统计·概率统计学习的定位说明4全日制义务教育数学课程标准1-3年级例1：随意从放有4个红球和1个黑球的口袋中，摸出一个球，摸到红球的可能性与摸到黑球的可能性哪个大？例2：下列现象中，哪些是确定的？下周三本地下雨明天有人走路4-6年级例3：在一个正方形的6个面上分别标上数字，使得2朝上的可能性为1/3。例4：某公司有15名职工，对外招聘时称该公司职工的月平均工资超过1200元，请分析下面的统计表。职务经理副经理职员人数1113月工资500020008007-9年级例5：一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。本章内容第一节概率的基本概念第二节二项分布第三节正态分布第一节概率的基本概念1.随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。2.概率：随机事件出现可能性大小的客观指标。后验概率（也称统计概率）：随机事件A出现m次与观测n次的比值。当观测次数无限增大时，随机事件的频率稳定于一个常数P，先验概率：若试验中由n个有限的基本事件组成，而且每次试验中它们出现是等可能的，当事件A发生的次数为m时，则事件A的概率为nmPA投掷硬币，基本事件n=2（正面或反面），为有限，事件A（正面向上）和事件B（反面向上）出现的可能性相等，P（A）=1/2。试验者投掷次数出现“正面”次数频率于老师20120.6000Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.500554张扑克牌，抽出红桃的概率从一个有20名男生，30名女生的班级里，随机抽取男生的概率是概率P（A）=13/54=0.24概率P（A）=20/50=0.43.概率的基本性质（1）任何随机事件的概率，0P(A)1；（2）不可能事件的概率等于0，P（A）=0（3）必然事件的概率等于1，P（A）=1（4）两个互不相容事件A、B之和的概率等于两个事件概率之和，P（A+B）=P（A）+P（B）。（5）两个独立事件同时出现的概率等于这两个事件概率的乘积。P（AxB）=P（A）P（B）例1：某学生从5道试题中，随机抽取1题进行口试，请问抽到试题1的概率是多少？抽到试题1或试题2的概率是多少？例2：某二个学生随机从5道试题中，抽取1题进行口试，第一个学生把抽过的试题还原后，第二个学生再抽，问两个学生都抽到试题1的概率是多少？抽到试题1或试题2的概率是P（A+B）=P（A）+P（B）=1/5+1/5=2/5两个学生都抽到试题1的概率是P（AxB）=P（A）P（B）=1/5x1/5=1/25第二节二项分布1.贝努利分布B（1，p）假设一次投硬币的试验。用随机变量X的两个值来表示投币结果：1表示正面，0表示反面，统计学里称这种试验为贝努利试验，投掷结果的概率可以写成下面的形式（公式6.1）：随机变量X服从贝努利分布，记为X～B(1,p)，反映了贝努利分布的变化规律。(6.1)图6.1人类新生儿性别比2.二项分布如果贝努利试验独立地重复n次，假设事件A在每次试验中出现的概率为p，x为n次试验中成功的次数，那么随机变量X服从二项分布B（n，p），记为X～B(n,p)。概率分布（6.2）)!(!!)1()(xnxnCppCxPxnxnxxn！为阶乘符号121)n)(n(n!n3！=3×2×1，0！定义为1例3:有10道是非题,若一考生完全不懂,全凭猜测回答,问分别答对5题、6题、10题的概率各为多少？00098.05.05.0!0!10!10)10(20508.05.05.0!4!6!10)6(24609.05.0!56789105.05.0!5!5!10)5()!(!!)1()(010461055XPXPXPxnxnCppCxPxnxnxxn例4投硬币试验独立地进行了3次，其结果如下：三次可能出现的结果正面出现的次数X概率正1正2正33(1/2)3正1正2反32(1/2)3正1反2正32(1/2)3反1正2正32(1/2)3正1反2反31(1/2)3反1正2反31(1/2)3反1反2正31(1/2)3反1反2反30(1/2)3从表中可知，若投掷三次全是正面的概率是P(X=3)=1/8；若出现二次正面的概率P(X=2)=3/8；只出现一次正面的概率P(X=1)=3/8；全是反面的概率P(X=0)=1/8。若利用6.2式计算只出现1次正面的概率得：8/35.05.0121123)5.01()5.0()1(2113113CXP例4：从100个球（20个黑球，80个红球）中独立地抽取3次，分别计算抽取1个、2个或3个黑球的概率X概率二项分布的图形n=3,p=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=6,p=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=10,p=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=20,p=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)图6-1p=0.3时,不同n值对应的二项分布二项分布的图形特征离散型分布二项分布图的形态取决于p与n。当p=0.5时，图形是对称的；p离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。当n→∞时，二项分布近似于正态分布。二项分布的平均数和方差n很大时，二项分布接近正态分布。当随机变量X服从二项分布B（n,p)时，其平均数（期望）μ=np；方差σ2=np(1-p)例5：作一个投掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均数为5次（μ=np=10X0.5=5），正面向上的离散度σ2=np(1-p)=10X0.5X0.5=2.5，σ=1.58（理论结果）在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有的人得9个，人数越多，正面向上的平均数越接近5，离散程度越接近1.58.思考：贝努利分布的平均数和方差平均数μ=p；方差σ2=p(1-p)第三节正态分布Normaldistribution早在十八世纪，Gauss在天文观察中发现观察者每次观察的结果都不相同，伴有误差，而且这些误差是随机的。他证明误差的变化服从某种规律性。Gaussdistribution是一种连续型随机变量的概率分布，在实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。人类社会、教育心理中大量现象均按正态形式分布。Gauss（1777-1855）一、正态分布曲线函数特征1.正态分布图2.正态分布曲线方程222)(21)(XeXfX～N(,2),一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。根据正态分布曲线方程，可绘制出正态分布曲线图，其方程为:为总体均数，为总体标准差-----两参数π为圆周率，e为自然对数的底-----两常数X为图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数值----两坐标轴X服从期望(平均)为、方差为2的正态分布，记为X～),(2N3.正态分布的特征1.正态分布的形式是对称的，平均数、中数、众数三者相等。2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降，曲线两端不与基线相交。3.正态曲线下的面积为1，正态曲线下的面积可视为概率。4.正态分布是一族分布，它随随机变量的平均数、标准差的不同而呈现不同的分布形态。图6-2方差固定，平均数变化时，的变化状况图6-3平均数固定，方差变化时，的变化状况)(xf2)(xf•是决定正态分布图位置的参数，当2固定时，不同的表示曲线在横轴上左右平行地移动。•参数2决定曲线的形状。从上面图6-3中可以看到当固定时，2的值愈小，所围成的图形就越尖、狭；反之2的值越大，图形就越平、宽。2二、标准正态分布1.所有正态分布都可以通过Z分数转换成标准正态分布。经此变换，密度函数发生相应改变：XZ2221)(zezf则Z服从总体均数为0、总体标准差为1的正态分布。μ=0,σ=1记为Z～N(0,1)2.标准正态分布曲线下面积标准正态分布正态分布面积或概率-1～1μ±σ68.27%-1.96～1.96μ±1.96σ95.00%-2.58～2.58μ±2.58σ99.00%3.标准正态曲线表的使用下面积的求法（1）依据Z分数求概率P①求某Z分数值与Z=0（平均数）之间的概率（查表）；Z=1，p=0.34134；Z=1.96p=0.475；Z=2.58p=0.49506②某Z分数以上或以下的概率p(Z≼1)=0.5+0.3413=0.8413p(Z-1)=0.5-0.3413=0.15870.84130.1587③求两个Z值之间的概率p(-1Z≼0.5)=0.3413+0.19146=0.53276标准正态分布的3σ规则:p(-1≼Z≼1)=0.34134+0.34134=0.6827P(-2≼Z≼2)=0.47725+0.47725=0.9545P(-3≼Z≼3)=0.49865+0.49865=0.9973图6-2标准正态分布的3－规则（2）依据概率P求Z分数（3）已知概率或Z值，求概率密度（查表）例6；求以下概率P(0Z1.96)P(-1.96Z≼0)P(1Z1.96)P(-1.96Z-1)P(-1.96Z1.96)P(Z1.96)P(Z≼1)P(0Z1.96)=0.475P(-1.96Z≼0)=0.475P(1Z1.96)=0.475-0.3413=0.1337P(-1.96Z-1)=0.1337P(-1.96Z1.96)=0.95P(Z1.96)=0.5-0.475=0.025P(Z≼1)=0.5+0.3413=0.8413例7已知下列概率，求对应的Z值P(0Z≼Z0)=0.49814P(-Z0Z≼Z0)=0.7063P(Z≽Z0)=0.05例8已知Z值或概率值，求纵高Y（概率密度Y）Z=3.84P(0Z≼Z0)=0.13683Z=2.9Z=1.05Z=1.64Y=0.00025Y=0.375244.正态分布在测验中的应用（1）将原始分数转换成标准分数例9：科目甲乙平均分标准差Z甲Z乙语文5951504数学75797410英语6372679总和197202Z甲语文=（59-50）/4=2.25Z甲数学=（75-74）/10=0.1Z甲英语=（63-67）/9=-0.44Z乙语文=（51-50）/4=0.25Z乙数学=（79-74）/10=0.5Z乙英语=（72-67）/9=0.56若按照原始分，应该录取乙同学。Z甲=2.25+0.1-0.44=1.91Z乙=0.25+0.5+0.56=1.31若按照标准分，应该录取甲同学（2）确定录取分数线例10：某项职业技能考试，在参加考试的1600人中准备录取200人，考试分数接近正态分布，平均分为74，标准差为11，问录取分数线是多少？录取率为200/1600=0.125p=0.5-0.125=0.375查表Z=1.15Z=（X-74）/11得到X=86.650.125(3)确定等级评定的人数如果100个人某种能力呈正态分布，欲将分成甲、乙、丙、丁四个等距的等级，问各等级应