(4数学建模)几个问题的初等数学模型

几个问题的初等数学模型朱建青（苏州科技学院信息与计算科学系）几个问题的初等数学模型一、录象机计数器的用途二、实物交换三、席位分配问题问题经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？一、录象机计数器的用途录象机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢模型准备（问题分析）观察计数器读数增长越来越慢！模型假设•录象带的运动速度是常数v；•计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；•录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w；•空右轮盘半径记作r；•时间t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第i圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt,所以knmnvrknvwkt222mivtwir1)(22.考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即wvtrwknr])[(22nvrknvwkt2223.考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度，有vdtkdnwknr2)(思考nvrknvwkt2223种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数,,,,kvwr一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法mivtwir1)(2wvtrwknr])[(22vdtkdnwknr2)(模型求解参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作,2bnant只需估计a,b理论上，已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152用最小二乘法可得.1044.1,1051.226ba模型检验应该另外测试一批数据检验模型：bnant2)1044.1,1051.2(26ba模型应用回答问题：由模型算得n=4580时t=118.5分，剩下的录象带能录183.5-118.5=65分钟的节目。揭示了t与n之间呈二次函数关系这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计a,b即可。二、实物交换实物交换问题可能出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上，而交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度难以给出确切的定量关系，这里用作图的方法对双方实物交换建立一个模型。1、问题设有甲乙双方，甲拥有物品的数量为，乙占有物品的数量为，他们两人希望交换一部分，达到双方满意的结果。XY0x0y2、问题分析交换要达到双方满意，这取决于双方对两种物品的偏爱程度，而这偏爱程度是很难给出确切的定量关系，因此对变量的关系作粗略的分析，得到的是半定量、半定性的模型。设交换后，甲拥有物品分别为，则乙拥有分别为，在平面直角坐标系上，长方形，内任一点都代表了一种交换方案。问题的关键在于刻划、描述偏爱程度。yx,YX,YX,yyxx00,xyO),(yx3、无差别曲线即，对甲来说是同样满意，则称对甲是无差别的。即甲愿意以减少换取增加，所有与，具有同样满意程度的点组成一个甲的无差别曲线。YX,XXXYYY1y1x2y2x),(111yxp),(222yxp21,pp21yy12xx21,ppMN用无差别曲线描述甲对物品的偏爱程度。如果占有数量为和数量为，即与占有数量为和数量在不同无差别曲线的上，如满意程度满意程度高于，相反，的满意程度低于。这样，甲有无数条无差别曲线，从而得到一曲线族，不妨记为为满意度随着的增加，曲线向右上方移动，且曲线是单调下降的、下凸的。同样，对乙也有对的偏爱程度的无差别曲线族，记为满意度也许就没有解析表达式，但他们的偏爱程度是可以用曲线表示的。),(333yxp21,pp),(444yxp21,pp11),(CCyxf1C22),(CCyxggf,4、交换方案为了得到双方满意的交换方案，将双方的无差别曲线族画在一起，将乙的无差别曲线族原点放在上，即两族曲线的切点连成一条曲线，则双方满意的交换方案应在曲线上，称为交换路径。ABO),(00yxAB这是因为，假设交换在以外的某一点进行，若通过的甲的无差别曲线与的交点为，甲对和的满意度相同，而乙对的满意度高于，所以双方满意的交换不可能在进行。ABppABpppppp有了双方的无差别曲线，交换方案的范围由原来的长方形，缩小为一条曲线，但仍不能确定交换究竟应在曲线上的哪一点进行，因为越靠近，甲越满意，而乙则相反，这时需要双方协商或依据双方同意的某种准则。ABB若用等价交换准则，等价交换是指用两种物品以外的第三者，货币来衡量其价值，进行等价交换。设交换前甲占有的与乙占有的具有相同的价值，则直线上任一点均是等价交价交换点。那么，在等价交换准则下，双方满意的交换方案在与的交点XYCDCDABp三、席位分配问题在现实世界有各种各样的分配名额的问题，大到国家议会席位分配，小到单位、团体的各种代表分配，这里举一例来分析：设某校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生会设20个席位，怎样分配席位?由于问题很明确，因而不需再作任何假设，一种常用的分配方法：按人数的比例分配。分配结果：甲系10名，乙系6名，丙系4名。1、问题按比例分配时会出现小数，通常的做法：先将取得整数的19席分配完，即甲系10名，乙系6名，丙系3名，剩下一席按惯例分配给比例中小数最大者，即丙系，结果甲系10名，乙系6名，丙系4名。现将问题改变一下：丙系有6名学生转入甲、乙两系各3名，仍按比例配：这种按惯例分配方式通常大家都能接受，现将问题再改变一下，由于席位20为偶数，不便表决，故决定增加一席，即21个席位的分配，仍按上述方法分配(如上表)，结果甲系11名，乙系7名，丙系3名，这结果对丙系来说不公平，总席位增加1席，而它却减少1席。问题是怎样来建立公平的分配方案?要公平，就要有衡量公平的数量指标，由此建立新的分配方案2、衡量不公平的数量指标讨论两方公平分配，设有个人，有个人，占席位分别是和，显然，当时席位分配是公平的。由于人数是整数，故常有，这时席位分配不公平，且，大的一方吃亏，即对这一方不公平。BA,A1pB2p1n2n2211npnp2211npnp11np22np不妨设2211npnp，则不公平程度可用数值2211npnp衡量，它是不公平的绝对程度。如1201p，1002p，1021nn，则210122211npnp，而对10201p，10002p，1021nn，则21001022211npnp，虽然不公平程度都是2，但显然后一种情况比前一种情况要公平得多，因此用相对程度：当2211npnp时，对A的相对不公平值22221121,npnpnpnnrA当2211npnp时，对B的相对不公平值11112221,npnpnpnnrB有了衡量分配不公平程度的数量指标后，确定分配方案的原则是尽可能使小。3、确定分配方案设BA,两方已分别占有1n和2n席，利用相对不公平值Ar和Br讨论当总席数增加1席时的分配：不妨设2211npnp，即对A不公平，再分配一席时，有3种可能：1°若22111npnp，这说明即使A增加1席，仍对A不公平，显然应分给A。2°若22111npnp，即A增加1席将变成对B的不公平，此时对B的相对不公平值11,1211221npnpnnrB3°若12211npnp，对B增加1席，此时对A的相对不公平值111,122121npnpnnrA根据公平分配原则，使相对不公平值尽可能小，故当2121,11,nnrnnrBA(1)时，这1席分给A，而当2121,11,nnrnnrBA(2)时，这1席分给B，进一步，不等式(1)等价于1122221121nnpnnp(3)22111npnp时，即第一种情况时，不等式(3)自然成立。所以分配方案：当不等式(3)成立时，这1席分给A，否则，分给B。记111211nnpQ,122222nnpQ，即由2,1iQi的大小，分配这1席给iQ大的一方。上述方法可以推广到m方分配席位的情况：设第i方有ip人，已有inmi,,2,1个席位，当总席位增加1席时，计算12iiiinnpQ，mi,,2,1，将这一席分配给Q值最大的一方，这种方法称为Q值法。现在用Q值法来分配前面的问题：先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，即3,6,10321nnn，然而用Q值法分配第20席和第21席，第20席：4.96111010321Q，5.94766322Q，3.96433423Q，1Q最大，这1席分配给甲系，即甲系11名，乙系6名，丙系3名。这样分配对丙系保住了险些丧失的1席，应该说是相对合理公平的，但对乙系来说感到最不公平，上述方法也说明了，此时的分配对乙系最不公平，对不能完全按比例分配完的情况，要做到绝对公平是不可能的。我们只能做到在某一原则下的公平，而建立这个原则应是相对公平合理的，是否有一种能令各方面都满意的席位分配方法呢?第21席：4.80121110321Q，5.942Q，3.963Q，3Q最大，这1席分给丙系，即甲系11名，乙系6名，丙系4名。由M.L.Balinsky和H.P.Young，首先在席位分配问题的研究中引进了公理化方法，所谓公理化方法就是事先根据具体的现实问题给出一系列合理的约束，称之为“公理”，然后运用数学分析的方法证明哪一个数学结构或者什么适当的函数或关系能满足所给定的公理，或者运用逻辑的方法去考察这些公理之间是否相容，如果不相容，则说明符合这些公理的对象并不存在。4模型的公理研究1974年，二位学者关于席位分配问题提出了五条公理：公理1(人口单调性)：一个单位的人数增加不会导致它失去一个席位。公理2(无偏性)：在整个时间上平均，每一单位应接受它自己应分摊的席位。公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使得某一单位的席位减少。公理4(公平分摊性)：任何单位的席位都不会偏离其比例的份额数。公理5(接近份额性)：没有从一单位到另一个单位的席位转让会使得这两个单位都接近它们应得的席位数。1982年，Balinsky和Young证明了关于席位分配问题的一个不可能性定理，即不存在满足公理1～5的席位分配方法。