特征值与特征向量的概念与求法

主讲王娜《线性代数》课题组第四章特征值与特征向量《线性代数》课题组特征值与特征向量的求法2.特征值与特征向量的概念1.知识点1--特征值与特征向量的概念与求法《线性代数》课题组A=n阶方阵非零向量特征值特征向量对应一、特征值与特征向量的概念如342212311，即A=，则=1为矩阵3423A的特征值，21为A的属于=1的特征向量。《线性代数》课题组A=(A–E)=0|A–E|=0特征方程|A–E|=a11–a12…a1na21a22–…a2n…………an1an2…ann–特征多项式A–E特征矩阵特征值特征向量(非零)A：n阶方阵《线性代数》课题组(2)一个特征向量不能属于不同的特征值。(1)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；注意若为A的属于的特征向量，则k（k≠0）也是A的属于的特征向量。即A的属于的特征向量不唯一。若1，2为A的属于的特征向量，则k11+k22≠0（k1，k2不全为零）也是A的属于的特征向量。(A–E)=0《线性代数》课题组(1)0为A的特征值|A–0E|=0.(2)为A的对应于0特征向量(A–0E)=0.1.理论依据2.步骤计算|A–E|求|A–E|=0的根求(A–E)x=0的基础解系二、特征值与特征向量的求法《线性代数》课题组思考对角矩阵12n的特征值为_________上三角矩阵11121222nnnnaaaaaa的特征值为_________12,,,n1122,,,nnaaa《线性代数》课题组求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解.例1求矩阵1225A=的特征值与特征向量.的特征方程为A221269(3)025AE的特征值为A123解所以即求特征方程的根《线性代数》课题组解齐次线性方程组221132200AE=一个基础解系为11于是，属于的全部特征向量为（）.123k0k(3)0AEx1225A=即求齐次线性方程组的全部非零解《线性代数》课题组例2求矩阵433231213A的特征值与特征向量.的特征方程为A2433231(4)(2)0213AE所以的特征值为A1234,2解《线性代数》课题组对于124，求解齐次线性方程组(4)0AEx解得一个基础解系为1111于是，属于124的全部特征向量为11k10k（)0332111014211011011211000000AE=433231213A行初等变换《线性代数》课题组对于32，求解齐次线性方程组(2)0AEx解得一个基础解系为2011于是，属于32的全部特征向量为222(0)kk2332331002211011011211000000AE433231213A《线性代数》课题组例3设1111111111111111A，求的特征值与的特征向量.A的特征方程为A311111111(4)011111111AE所以的特征值为A12340,4解所有元素均为1《线性代数》课题组对于1230，求解齐次线性方程组(0)0AEx解得一个基础解系为123111100,,010001于是，属于1230的全部特征向量为112233kkk（不全为零）.123,,kkk111111111111000001111000011110000AE=基础解系不唯一，进而属于某一特征值的线性无关的特征向量不唯一《线性代数》课题组对于44，求解齐次线性方程组(4)0AEx解得一个基础解系为41111于是，属于44的全部特征向量为444(0)kk3111111310011311040401014113100440011111300000000AE《线性代数》课题组求方阵特征值与特征向量的步骤：小结A=计算|A–E|求|A–E|=0的根求(A–E)x=0的基础解系