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§2.1平面向量的实际背景及基本概念第二章平面向量主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1本节知识目录当堂测、查疑缺探要点、究所然填要点、记疑点明目标、知重点探究点二几个向量概念的理解探究点一向量的概念和几何表示探究点三平行向量与共线向量平面向量的实际背景及基本概念主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.11.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．明目标、知重点主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1填要点、记疑点1．向量既有，又有的量叫做向量．2．向量的几何表示以A为起点、B为终点的有向线段记作.大小方向AB→主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1填要点、记疑点3．向量的有关概念(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作.(2)单位向量：长度等于个单位的向量，叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于向量b，记作.②规定：零向量与平行．01长度相等方向相同相同或相反非零任一向量a∥b0主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然[情境导学]回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探究点一：向量的概念和几何表示探要点、究所然我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探究点一：向量的概念和几何表示探要点、究所然思考1向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探究点一：向量的概念和几何表示探要点、究所然思考2如何表示向量？答带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．思考3由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？答用表示向量的有向线段的长度表示．向量AB→的大小，也就是向量AB→的长度(或称模)．记作|AB→|，有向线段AB→箭头表示向量AB→的方向．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探究点一：向量的概念和几何表示探要点、究所然思考4向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？答向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数．思考5向量与有向线段有什么区别？答向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点二：几个向量概念的理解思考1长度为零的向量叫什么向量？答长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的．思考2长度为1的向量叫什么向量？答长度(或模)为1的向量叫做单位向量．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点二：几个向量概念的理解思考3满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？答长度相等方向相同的向量叫做相等向量．小结研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点二：几个向量概念的理解思考4在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？答案单位圆主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量思考1如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？答方向相同或相反主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量小结方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b平行，通常记作a∥b.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量思考2如果非零向量AB→与CD→是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？答点A、B、C、D不一定共线．思考3若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？答向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量思考4向量平行具备传递性吗？答向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.小结在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②AB→＝DC→，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，平行且方向相同，故AB→与DC→，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．反思与感悟对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量跟踪训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量解①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量AB→、BC→、CD→；(2)求|AD→|.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量解(1)向量AB→、BC→、CD→如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量例3如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模大小相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)与EF→模相等的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有：DB→与CD→.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺§2.1探要点、究所然探究点三：平行向量与共线向量反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要