高中数学圆的基本知识与分类练习

圆的复习之4—1高一数学期中复习之一——圆一．基本知识之关于圆的方程1.圆心为),(baC，半径为r的圆的标准方程为：)0()()(222rrbyax.特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx.2.圆的一般方程022FEyDxyx，其中0422FED.圆心为点,22DE，半径2242DEFr，3.二元二次方程022FEyDxCyBxyAx，表示圆的方程的充要条件是：①2x项2y项的系数相同且不为0，即0CA；②没有xy项，即0B；③0422AFED.4.圆C：222()()xaybr的参数方程为sincosrbyrax(为参数).特殊地，222ryx的参数方程为sincosryrx(为参数).5.圆系方程：过圆1C：221110xyDxEyF与圆2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程是22221112220xyDxEyFxyDxEyF(不含圆2C),当1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.二．基本知识之关于直线与圆的位置关系1.将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆的半径为r，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：2.直线截圆所得弦长的计算方法：①利用弦长计算公式：设直线ykxb与圆相交于11,Axy，22,Bxy两点，则弦221212ABxxyy21xka△；②利用垂径定理和勾股定理：222ABrd(其中r为圆的半径，d直线到圆心的距离).3.圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下关系：位置关系外离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRr0dRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解位置关系相切相交相离几何特征drdrdr代数特征0△0△0△圆的复习之4—2三．分类例题练习1.关于圆的方程：例1：求满足下列各条件圆的方程：(1)以)9,4(A，)3,6(B为直径的圆；(2)与,xy轴均相切且过点(1,8)的圆；(3)求经过)2,5(A，)2,3(B两点，圆心在直线32yx上的圆的方程；(4)求与圆522yx外切于点)2,1(P，且半径为52的圆的方程.解：（1）221012510xyxy（2）22(13)(13)169xy或22(5)(5)25xy（3）22(2)(1)10xy（4）22(3)(6)20xy2.关于点和圆的位置例2：(1)已知点)12,15(aaP在圆169)1(22yx的内部,求a的取值范围.(2)直线220xyk与直线230xyk的交点在圆2225xy上，求k的值.(3)已知直线01byax与圆:O221xy相交，问点),(ba的圆O位置关系如何？解：(1)11a；(2)1k；(3)圆外3.圆上的点的用法例3：(1)已知实数x、y满足方程22410xyx.分别求yx，yx，及22xy的最大值和最小值.(2)平面上两点1,0A、1,0B，在圆C：22344xy上取一点P，求使22APBP取得最小值时点P的坐标.(3)圆222430xyxy上到直线10xy的距离为2的点共有个.(4)求圆012222yxyx上的动点Q到直线0843yx距离的最小值.解：(1)2233;6262;743743yxyxxy；(2)20，912(,)55P；(3)3个；(4)2.4.关于直线和圆的位置例4：(1)求圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程.(2)求过点2,3P的圆224xy的切线方程.(3)已知直线l过点），（02，当直线l与圆xyx222有两个交点时，其斜率k的取值范围.(4)已知直线l：yxb与曲线C：21yx有两个公共点，求b的取值范围.圆的复习之4—3(5)已知直线l：2830mxym和圆22:612200Cxyxy；①mR时，证明l与C总相交；②m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长.解：(1)320xy；(2)2x或512260xy；(3)2244k；(4)12b；(5)①直线l：2830mxym恒过的点(4,3)在圆C之内，故对mR有l与C总相交；；②2155.关于圆与圆的位置例5：(1)判断两圆0124622yxyx和sin62cos61yx(为参数)的位置关系.(2)已知圆1C⊙：222280xyxy与2C⊙：22210240xyxy相交于,AB两点，①求公共弦AB所在的直线方程；②求圆心在直线yx上，且经过,AB两点的圆的方程；③求经过,AB两点且面积最小的圆的方程.解：（1）相交(2)①公共弦AB所在的直线方程为：240xy；②圆心在直线yx上，且经过,AB两点的圆的方程为：22(3)(3)10xy；③经过,AB两点且面积最小的圆的方程为：22(2)(1)5xy.6.关于对称问题例6：(1)求圆5)2(22yx关于原点0,0对称的圆的方程.(2)求圆222690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程.(3)点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆22:4470Cxyxy相切，求光线l所在直线方程.(4)直线xmy2与圆0422nymxyx交于M、N两点，且M、N关于直线0yx对称，求弦MN的长.解：（1）22(2)5xy；（2）22(7)(1)1xy（3）3430xy和4330xy；（4）2,2,4mn弦长为7.关于轨迹例7：(1)已知O为原点，定点(4,0)Q，点P是圆224xy上一动点.①求线段PQ中点的轨迹方程；②设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.(2)过圆22:4Oxy与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程.圆的复习之4—4(3)已知圆22:(2)1Mxy，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程.(4)过圆224xy内一点)1,1(A作一弦交圆于CB、两点,过点CB、分别作圆的切线PCPB、，两切线交于点P，求点P的轨迹方程.解：（1）①线段PQ中点的轨迹方程为：22(2)1xy；②设POQ的平分线交PQ于R，R点的轨迹方程为22416()39xy：（2）22(2)4xy，去掉与y轴的交点.（3）227330(2)22xyyy（4）40xy圆的复习之4—5详细答案图片版：注意解法不唯一圆的复习之4—6圆的复习之4—7圆的复习之4—8圆的复习之4—9