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4.6正弦定理、余弦定理第四章4.6正弦定理、余弦定理-2-考纲要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.第四章4.6正弦定理、余弦定理-3-1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R.(R为△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bc·cosA;b2=c2+a2-2ca·cosB;c2=a2+b2-2ab·cosC.①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;④a+b+c𝑠𝑖𝑛A+𝑠𝑖𝑛B+𝑠𝑖𝑛C=a𝑠𝑖𝑛A.cosA=b2+c2-a22bc;cosB=c2+a2-b22ca;cosC=a2+b2-c22ab.第四章4.6正弦定理、余弦定理-4-定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边.②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角.①已知三边,求各角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.第四章4.6正弦定理、余弦定理-5-想一想在△ABC中,sinAsinB是AB的什么条件?答案:充要条件.sinAsinB⇔𝑎2𝑅𝑏2𝑅⇔ab⇔AB.第四章4.6正弦定理、余弦定理-6-2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa=bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解第四章4.6正弦定理、余弦定理-7-3.三角形中常用的面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高).(2)S=12bcsinA=12absinC=12acsinB.(3)S=12r(a+b+c)(r为△ABC内切圆半径).第四章4.6正弦定理、余弦定理-8-基础自测1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=60°,则b等于(A)A.33B.3C.32D.23第四章4.6正弦定理、余弦定理-9-2.在△ABC中,a=4,b=23,C=30°,则边c等于(B)A.3B.2C.23D.3第四章4.6正弦定理、余弦定理-10-3.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=1∶1∶3.第四章4.6正弦定理、余弦定理-11-4.在△ABC中,若a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=.答案解析解析关闭由cosC=13,得sinC=223,∴S△ABC=12absinC=12×32×b×223=43.∴b=23.答案解析关闭23第四章4.6正弦定理、余弦定理-12-考点一考点二考点三考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(2013山东高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.答案答案关闭(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又b=2,a+c=6,cosB=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sinB=1-cos2B=429,由正弦定理得sinA=𝑎sin𝐵𝑏=223.因为a=c,所以A为锐角.所以cosA=1-sin2A=13.因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=10227.第四章4.6正弦定理、余弦定理-13-考点一考点二考点三方法提炼(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.第四章4.6正弦定理、余弦定理-14-考点一考点二考点三举一反三1(2013新课标全国Ⅰ高考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.答案答案关闭(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2×3×12cos30°=74.故PA=72.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得3sin150°=sin𝛼sin(30°-𝛼),化简得3cosα=4sinα.所以tanα=34,即tan∠PBA=34.第四章4.6正弦定理、余弦定理-15-考点一考点二考点三考点二三角形形状的判定【例2】(2013陕西高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案解析解析关闭依据题设条件的特点,边化角选用正弦定理,有sinBcosC+cosBsinC=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补角的意义,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=π2,选A答案解析关闭A第四章4.6正弦定理、余弦定理-16-考点一考点二考点三方法提炼判断三角形的形状的基本思想是:利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意A,B,C的范围对三角函数值的影响.提醒:当b2+c2-a20时,角A为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,角A为直角,三角形为直角三角形;当b2+c2-a20时,角A为钝角,三角形为钝角三角形.第四章4.6正弦定理、余弦定理-17-考点一考点二考点三举一反三2在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且acosB=bcosA,则△ABC的形状为.答案解析解析关闭∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b)2-c2=3ab.∴a2+b2-c2=ab.∴cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=12.∴C=π3.∵acosB=bcosA,∴sinAcosB=sinBcosA.∴sin(A-B)=0.∴A=B.故△ABC为等边三角形.答案解析关闭等边三角形第四章4.6正弦定理、余弦定理-18-考点一考点二考点三考点三与三角形面积有关的问题【例3】在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=π3.(1)若△ABC的面积等于3,求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.第四章4.6正弦定理、余弦定理-19-考点一考点二考点三解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,又因为△ABC的面积等于3,所以12absinC=3,得ab=4.联立方程组𝑎2+𝑏2-ab=4,𝑎𝑏=4,解得𝑎=2,𝑏=2.第四章4.6正弦定理、余弦定理-20-考点一考点二考点三(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA.当cosA=0时,A=π2,B=π6,a=433,b=233.所以△ABC的面积S=12absinC=12×433×233×32=233;当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组𝑎2+𝑏2-ab=4,𝑏=2𝑎.解得𝑎=233,𝑏=433.所以△ABC的面积S=12absinC=12×233×433×32=233.综上知,△ABC的面积为233.第四章4.6正弦定理、余弦定理-21-考点一考点二考点三方法提炼1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用;在解决三角形问题中,面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB最常用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.解三角形过程中,要注意三角恒等变换公式的应用.第四章4.6正弦定理、余弦定理-22-考点一考点二考点三举一反三3(2013课标全国Ⅱ高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.第四章4.6正弦定理、余弦定理-23-考点一考点二考点三解:(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB,又B∈(0,π),所以B=π4.第四章4.6正弦定理、余弦定理-24-考点一考点二考点三(2)△ABC的面积S=12acsinB=24ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosπ4.又a2+c2≥2ac,故ac≤42-2,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为2+1.第四章4.6正弦定理、余弦定理-25-1231.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=()A.-12B.12C.-1D.1答案解析解析关闭根据正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=2R得,a=2RsinA,b=2RsinB,∴acosA=bsinB可化为sinAcosA=sin2B.∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案解析关闭D第四章4.6正弦定理、余弦定理-26-1232.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=π6,c=23,则b=.答案解析解析关闭∵b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×23×32=4,∴b=2.答案解析关闭2第四章4.6正弦定理、余弦定理-27-1233.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R),且ac=14b2.(1)当p=54,b=1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围.答案答案关闭(1)由题设并利用正弦定理,得𝑎+𝑐=54,𝑎𝑐=14,解得𝑎=1,𝑐=14或𝑎=14,𝑐=1.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=p2b2-12b2-12b2cosB,即p2=32+12cosB.因为0cosB1,得p2∈32,2.由题设知p0,所以62p2.