专题训练讲义--正方形

1第十五讲专题训练讲义----正方形一．正方形的性质：【例1】如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.【例2】如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，CE=AC，AE交CD于F，求∠AFC的度数。【例3】如图4-60，正方形ABCD的对角线相交于O，EF∥AB，并且分别与OA，OB相交于E，F．若BE=3厘米，求CF的长．【练习1】如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【练习2】如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，1DE．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90，得△ABE，连接EE，则EE的长等于．【练习3】如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是．【练习4】如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.(1)观察猜想BE与DC之间的大小关系，并说明你的结论;(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在，请说出旋转过程;若不存在，请说明理由.【练习5】如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.【练习6】在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求EFD的度数．【练习7】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是．二．正方形的折纸：2ＭＤＱＣＮＢＡ【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的（）．（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm【练习】(2006荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ．三．正方形的面积：【练习1】正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为（）（A）10（B）12（C）14（D）16【练习2】如图，正方形ABCD中，边长为2，其中正方形A’B’C’O与正方形ABCD全等，顶点O在正方形ABCD对角线交点O，求阴影部分面积。1.边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。A．2－33B．332C．2－43D．22.将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，……，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为（）A．41cm。B．4ncm2Ｃ．（n－41）cm2D．(41）ncm23.如图，正方形ABCD各边中点为E、F、G、H，设正方形ABCD面积为S，求图中LKMN的面积。4.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．四．正方形的判定：【例1】如图，正方形ABCD中，DHCGBFAE．求证：四边形EFGH是正方形．【练习1】已知：如图，△ABC中，90C，CD平分ACB，BCDE，ACDF，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．【练习2】如图,正方形ABCD中,E、F、G、H分别为四边中点，连接AG、BH、CE、DF依次相交于M、N、P、Q。求证：四边形MNPQ是正方形3ABCDEFOABCDPQFGHEABCD五．正方形的有关计算：【例1】已知：如图，已知四边形ABCD是正方形，35,MCEMNCE．求ANM．【例2】如图，四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外做等边三角形ABE，交BD于F，求∠AFD的度数。【练习1】如图,P是正方形ABCD边AB上任意一点,AC,BD交于O,PM⊥OA,PN⊥OB于N,若AB=10,则四边形PMON的周长为____________.【练习2】在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF＝；【练习4】在正方形ABCD中，E在BC上，且BE=2，EC=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值；【练习5】如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____。【练习7】（2006，福州）如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（）．322；B．3510；C．355；D．455．六．正方形的综合题：【例1】.如图，正方形ABCD中，MN⊥EF，求证：MN=EF【例2】如图，正方形形ABCD的边长为1、P、Q分别在AB、AD上，已知△APQ周长为2，求证：∠PCQ=450；【例3】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N，（如图甲）（1）求证：MD＝MN；（2）若将上述条件中的“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余的条件不变，（如图乙），则结论MD＝MN还成立吗？如果成立，请证明，若不成立，请说明理由；【练习1】如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：EC⊥CG。【练习2】在正方形ABCD中,AC与BD交于点O.M,N分别是OA,OB上的点,且MN//AB.求证(1)BM=CN;(2)BM⊥CN.【练习3】已知，如图，以△ABC的边AB、AC为边，分别向形外作一个正方形，中心分别为O1、O2，D为BC中点。求证：O1D⊥O2D。【练习6】如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE与BF相等吗？为什么？4（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。ABCDEFG【练习7】如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。（1）说明OE=OF的道理；（2）在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。专题训练讲义---正方形一．正方形的性质：【例1】（2008湖北襄樊）如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.解：（1）BG=DE∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°）∴△BCG≌△DCE∴BG=DE（2）存在.△BCG和△DCE；△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合【例2】如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，CE=AC，AE交CD于F，求∠AFC的度数。【例3】如图4-60，正方形ABCD的对角线相交于O，EF∥AB，并且分别与OA，OB相交于E，F．若BE=3厘米，求CF的长．5【练习1】(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（C）A．1对B．2对C．3对D．4对【练习2】（08沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【练习3】（2008佛山12）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是22.5°．【练习4】（2005山西）如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.(1)观察猜想BE与DC之间的大小关系，并说明你的结论;(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在，请说出旋转过程;若不存在，请说明理由.【练习5】（2008广东肇庆市）如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠90°，∴∠A＝∠BADCEFB第8题图6∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°∴△ADE≌△BGF∴AE＝BF（2）∵∠DEA＝90°，∠A=45°∴∠ADE=45°∴AE＝DE．同理BF＝GF∴EF＝AB===cm∴正方形DEFG的边长为【练习6】如图4-52，在正方形ABCD外以CD为边作等边△CDE．求AED的度数．【练习7】如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连结AP，EF，求证：AP=EF．二．正方形的折纸：【例1】（08哈尔滨）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的（）．（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm【练习】如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ．三．正方形的判定：【例1】如图，正方形ABCD中，DHCGBFAE．求证：四边形EFGH是正方形．ＭＤＱＣＮＢＡ7【例2】已知：如图，△ABC中，90C，CD平分ACB，BCDE，ACDF，垂足分别为E、F．求证：四边形CFDE是正方形．四．正方形的有关计算：【例1】已知：如图4-57，已知四边形ABCD是正方形，35,MCEMNCE．求ANM．【例2】如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外做等边三角形ABE，交BD于F，求∠AFD的度数。【例3】如图，正方形ABCD各边中点为E、F、G、H，设正方形ABCD面积为S，求图中LKMN的面积。【练习1】如图,P是正方形ABCD边AB上任意一点,AC,BD交于O,PM⊥OA,PN⊥OB于N,若AB=10,则四边形PMON的周长为____________.【练习2】在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF＝；8ABCDEFO【练习3】如图，正方形ABCD中，边长为2，其中正方形A’B’C’O与正方形ABCD全等，顶点O在正方形ABCD对角线交点O，求阴影部分面积。【练习4】在正方形ABCD中，E在BC上，且BE=2，EC=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值；【练习5】如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____。【练习6】（2007年烟台）将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，……，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为A．1/4cm。B．n/4cm2Ｃ．（n－1/4）cm2D．(１／４）ncm2五．正方形的综合题：【例1