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6.5数列的综合应用第六章6.5数列的综合应用-2-考纲要求1.以递推关系为背景,在等差、等比数列交会的题目中,进行数列的基本运算,求数列的通项公式与前n项和.2.在数列与函数、不等式、解析几何的交会处,考查数列的综合应用.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.第六章6.5数列的综合应用-3-1.数列常与不等式结合,如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等,需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.2.数列在实际生活中有着广泛的应用,其解题的基本步骤,可用图表示如下:第六章6.5数列的综合应用-4-3.数列应用问题的常见模型(1)等差模型:一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是an+1-an=d(常数).(2)等比模型:一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的百分数时,该模型是等比模型,与变化前的量的比就是公比.(3)混合模型:在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型.(4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时,我们称该模型为生长模型.如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.(5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项(第2项起)与它的前一项(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题.(6)分期付款模型:设贷款总额为a,年利率为r,等额还款数为b,分n期还完,则b=𝑟(1+𝑟)𝑛(1+𝑟)𝑛-1a.第六章6.5数列的综合应用-5-想一想银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型?答案:单利公式——设本金为a元,每期利率为r,存期为n,则本利和an=a(1+rn),属于等差模型.复利公式——设本金为a元,每期利率为r,存期为n,则本利和an=a(1+r)n,属于等比模型.第六章6.5数列的综合应用-6-基础自测1.已知{an},{bn}均为等差数列,且a2=8,a6=16,b2=4,b6=a6,则由{an},{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn等于()A.3n+4B.6n+2C.6n+4D.2n+2答案解析解析关闭设{an}的公差为d1,{bn}的公差为d2,则d1=𝑎6-𝑎26-2=84=2,d2=𝑏6-𝑏26-2=124=3.∴an=a2+(n-2)×2=2n+4,bn=b2+(n-2)×3=3n-2.∴数列{an}为6,8,10,12,14,16,18,20,22,…,数列{bn}为1,4,7,10,13,16,19,22,….∴{cn}是以10为首项,以6为公差的等差数列.∴cn=10+(n-1)×6=6n+4.答案解析关闭C第六章6.5数列的综合应用-7-2.若正项数列{an}满足lgan+1=1+lgan,且a2001+a2002+a2003+…+a2010=2013,则a2011+a2012+a2013+…+a2020的值为()A.2013·1010B.2013·1011C.2014·1010D.2014·1011答案解析解析关闭由条件知lgan+1-lgan=lg𝑎𝑛+1𝑎𝑛=1,即𝑎𝑛+1𝑎𝑛=10,所以{an}为公比是10的等比数列.因为(a2001+…+a2010)·q10=a2011+…+a2020,所以a2011+…+a2020=2013·1010,选A.答案解析关闭A第六章6.5数列的综合应用-8-3.现有200根相同的钢管,把它们堆成三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余的钢管为()A.9根B.10根C.19根D.21根答案解析解析关闭设堆成x层,得1+2+3+…+x≤200,即求使得x(x+1)≤400成立的最大正整数x,应为19.∴200-19(19+1)2=10.答案解析关闭B第六章6.5数列的综合应用-9-4.在数列{an}中,对任意自然数n∈N*恒有a1+a2+…+an=2n-1,则a1+𝑎22+𝑎33+…+𝑎𝑛𝑛=2n+1-3.答案解析解析关闭∵a1+a2+…+an=2n-1,当n≥2时,a1+a2+…+an-1=2(n-1)-1,两式作差得an=2(n≥2),当n=1时,a1=1,∴a1+𝑎22+𝑎33+…+𝑎𝑛𝑛=1+22+23+…+2n=1+22(1-2𝑛-1)1-2=2n+1-3.答案解析关闭2n+1-3第六章6.5数列的综合应用-10-5.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了2个伙伴;第二天3只蜜蜂飞出去,各自找回了2个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程继续下去且都能找回2个伙伴,第五天所有蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有只蜜蜂.答案解析解析关闭第一天有1+2只,第二天有a2=3a1=9只,第三天有a3=3a2=27只,……,故第n天为an=3n,则a5=35=243只.答案解析关闭243第六章6.5数列的综合应用-11-考点一考点二考点三考点一等差、等比数列的综合应用【例1】已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对n∈N*均有𝑐1𝑏1+𝑐2𝑏2+…+𝑐𝑛𝑏𝑛=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2015.第六章6.5数列的综合应用-12-考点一考点二考点三解:(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(∵d0).∴an=1+(n-1)·2=2n-1.又b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为3,∴bn=3·3n-2=3n-1.第六章6.5数列的综合应用-13-考点一考点二考点三(2)由𝑐1𝑏1+𝑐2𝑏2+…+𝑐𝑛𝑏𝑛=an+1得当n≥2时,𝑐1𝑏1+𝑐2𝑏2+…+𝑐𝑛-1𝑏𝑛-1=an.两式相减得:n≥2时,𝑐𝑛𝑏𝑛=an+1-an=2.∴cn=2bn=2·3n-1(n≥2).又当n=1时,𝑐1𝑏1=a2,∴c1=3.∴cn=3,𝑛=1,2·3𝑛-1,n≥2.∴c1+c2+c3+…+c2015=3+6-2×320151-3=3+(-3+32015)=32015.第六章6.5数列的综合应用-14-考点一考点二考点三方法提炼解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各自的特征,再进行求解.第六章6.5数列的综合应用-15-考点一考点二考点三举一反三1(2013福建高考)已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.答案答案关闭(1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以𝑎12=1×(a1+2),即𝑎12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列{an}的公差d=1,且S5a1a9,所以5a1+10𝑎12+8a1,即𝑎12+3a1-100,解得-5a12.第六章6.5数列的综合应用-16-考点一考点二考点三考点二数列与函数的综合应用【例2】已知函数f(x)=log2x-logx2(0x1),数列{an}满足f(2𝑎𝑛)=2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}的单调性.第六章6.5数列的综合应用-17-考点一考点二考点三解:(1)由已知得log22𝑎𝑛−1log22𝑎𝑛=2n,∴an-1𝑎𝑛=2n,即𝑎𝑛2-2nan-1=0.∴an=n±𝑛2+1.∵0x1,∴02𝑎𝑛1,∴an0.∴an=n-𝑛2+1.(2)∵𝑎𝑛+1𝑎𝑛=(𝑛+1)-(𝑛+1)2+1𝑛-𝑛2+1=𝑛+𝑛2+1𝑛+1+(𝑛+1)2+11,又∵an0,∴an+1an,∴{an}是递增数列.第六章6.5数列的综合应用-18-考点一考点二考点三方法提炼此类问题常常以函数的解析式为载体,转化为数列问题,常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等.第六章6.5数列的综合应用-19-考点一考点二考点三举一反三2已知在正项数列{an}中,a1=2,点An(𝑎𝑛,𝑎𝑛+1)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-12x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等比数列;(3)若cn=an·bn,求证:cn+1cn.第六章6.5数列的综合应用-20-考点一考点二考点三答案:(1)解:由已知点An在y2-x2=1上知an+1-an=1,∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)证明:∵点(bn,Tn)在直线y=-12x+1上,∴Tn=-12bn+1.①∴Tn-1=-12bn-1+1(n≥2),②①②两式相减得bn=-12bn+12bn-1(n≥2),∴32bn=12bn-1,∴bn=13bn-1.由①,令n=1,得b1=-12b1+1,∴b1=23,∴{bn}是以23为首项,13为公比的等比数列.第六章6.5数列的综合应用-21-考点一考点二考点三(3)证明:由(2)可知bn=23·13𝑛-1=23𝑛.∴cn=an·bn=(n+1)·23𝑛,∴cn+1-cn=(n+2)·23𝑛+1-(n+1)·23𝑛=23𝑛+1[(n+2)-3(n+1)]=23𝑛+1(-2n-1)0,∴cn+1cn.第六章6.5数列的综合应用-22-考点一考点二考点三考点三数列在实际问题中的应用【例3】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取.它的本利和公式如下:本利和=每期存入的金额×存期+12×存期×(存期+1)×利率.(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?答案答案关闭(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的利息之和为nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP=𝑛(𝑛+1)𝐴𝑃2,所以本利和为nA+𝑛(𝑛+1)𝐴𝑃2=A𝑛+𝑛(𝑛+1)2P(元).(2)到第12个月底的本利和为10012+12×12×(12+1)×5.1%=1597.8(元).(3)设每月初应存入x元,则有x12+12×12×(12+1)×5.1%=2000,解得x≈125.2.所以每月初应存入125.2元.第六章6.5数列的综合应用-23-考点一考点二考点三方法提炼1.解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,使关系明朗化、标准化.然后用等差、等比数列知识求解.这其中体现了把实际问题数学化的能力,也就是所谓的数学建模能力.2.等比数列中处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注:最后一次付款没有利息).(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所产生的利息之和,等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.只有掌握了这一点,才可顺利建立等量关系.第六章6.5数列的综合应用-24-考点一考点二考点三举一反三3一辆邮政车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个,同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个,设该车从各站出发时邮政