卷积定理

1§3.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数2主要内容•三角函数形式的傅氏级数•指数函数形式的傅氏级数•两种傅氏级数的关系•频谱图•函数的对称性与傅里叶级数的关系3一．三角函数形式的傅里叶级数tntn11sin,cos是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,....0sincos2211TTtmtnnmnmTtmtnTT,0,2coscos2211nmnmTtmtnTT,0,2sinsin2211由积分可知1.三角函数集41112,,TTtf基波角频率为周期为周期信号在满足狄氏条件时，可展成:1sincos)(1110nnntnbtnaatf直流分量:TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度TttnttntfTa00dcos)(21正弦分量的幅度TttnttntfTb00dsin)(21称为三角形式的傅里叶级数，其系数2．级数形式5狄利克雷（Dirichlet）条件条件3:在一周期内，信号绝对可积;条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。6狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。tf018t8217狄利克雷（Dirichlet）条件2:例2不满足条件2的一个函数是:10,2sintttftf011t1对此函数，其周期为1，有110dttf8在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)TttfTd1100d)(TttttfTTtnnttfTtetfTFd1d11j狄利克雷（Dirichlet）条件3:说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为:nF9狄利克雷（Dirichlet）条件:例3周期信号，周期为1，不满足此条件。10,1tttftf01212t110例1求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。22110110d1TTttTATa22111110dcos2TTnttntTATa2211111dsin2TTnttntTATb3,2,1)1(1nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为tAtAtf112sin2sin02/2/)(111TtTtTAtf直流基波谐波ttfA21T21T112T11其他形式00ac22nnnbacnnnab1tgnnncacosnnncbsin余弦形式正弦形式00adnnnab1tgnnndasinnnndbcos110sin)(nnntnddtf22nnnbad2cos)(110nnntncctf12关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出频谱图周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性~nc~n幅度频率特性和相位频率特性11:n基波各次谐波周期信号可分解为直流，（）和（基波角频率的整数倍）的线性组合．13二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2,1,01jnetn2．级数形式3．系数111110jj0j1dd)()(TtntnTtnteetetfnF4)()(1j1tnnenFtf5d)(1110jTtntetfT利用复变函数的正交特性nF也可写为14说明变换对。式是一对、唯一确定，，则如给出)5()4()(1tfnF的线性组合。区间上的指数信号周期信号可分解为tne1j,4)()(1j1tnnenFtf5d)(1110j1TtntetfTnF15三．两种系数之间的关系及频谱图TtntetfTnF0j1d)(1)(1110011()cosdj()sindTTftnttftnttTT12nnajbTTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)(nnbaj21nenFnFj11)(是复数)(),(11nFnF利用欧拉公式16nnncbanF2121)(221相频特性nnnab1tg幅频特性和相频特性幅频特性的奇函数关于的偶函数关于取正值）的奇函数（实际关于取正值）的偶函数（实际关于)(11nnFnbnann17113nc0c1c3cO113nO频谱图幅度频谱相位频谱离散谱，谱线曲线或~~nnFc曲线~n18请画出其幅度谱和相位谱。例210c00236.251c15.0112c25.02化为余弦形式三角函数形式的频谱图，已知42coscos2sin1)(111ttttf42cos)15.0cos(51)(11tttf三角形式的傅里叶级数的谱系数X11c0c2c12024.211nc1225.015.001n19化为指数形式1111112j2jjjjj44121()1222tntttttfteeeeeejtttteeeeeetf11112j4j2j4jjj2121j211j2111)(tnnenF1j221)(1)0(F15.0112.1211jejF15.0112.1211jejF41212jeF41212jeF整理指数形式的傅里叶级数的系数20谱线1)0(0FF12.1)(11FF12.1)(11FF5.0)2(12FF5.0)2(12FF0015.0115.0125.0225.02指数形式的频谱图125.001112.11212.15.011nF1225.015.001115.01225.0n21三角形式与指数形式的频谱图对比11c0c2c12024.211nc125.001112.11212.15.011nF1225.015.001115.01225.0n三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图1225.015.001n22四．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系（4）引入负频率23(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式1110sincos)(nnntnbtnaatf=110)cos(nnntncctnnenFtf1j1)()(三角形式指数形式25(3)三个性质的谱线唯一唯一性：处现在（离散性），频率只出谐波性：收敛性：)(,11tfnnFn(4)引入负频率对于双边频谱，负频率)(1n，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?的实函数的性质不变。，才能保证和数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指－)(11jjtfeetfnn注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性26周期单位冲激序列的频谱1nFOT1TtetTnFTTtjn1d12211tnnTeTttf1j1)()(分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即为整数nnTttnT)()(满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽t0tTTT127一．频谱结构)(tf2/2/t1T1TE1TE周期为脉冲高度为脉宽为1.三角函数形式的谱系数2.指数函数形式的谱系数3.频谱特点281．三角形式的谱系数是个偶函数tfnnaab,,00只有)(tf2/2/t1T1T292211221111d1=tjntjnejnTEtEeT221111jnjneeTjnE2sin2111nTnE22sin111nnTE2．指数形式的谱系数2Sa11nTE2211111d)(1)(TTtjntetfTnFtjn130)(1nFO2Sa111nTEnF3．频谱及其特点(1)包络线形状：抽样函数(3)离散谱（谐波性）1时取值当n。处，为其最大值在10)2(TEn相位数），幅度函是复函数（此处为实）（/)(51nF2)4第一个零点坐标：（1121TE222＝令。相位为，，相位为000nnFF5T图中314．总结非周期信号。由周期信号为无限小，，，时，当tfTET11101112TT谱线间隔幅度矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性331.问题提出二．频带宽度)(1nFO1121TE2第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。35end谢谢大家！