5-2相似矩阵详解

上一页下一页返回1第二节相似矩阵一、相似矩阵的概念与性质二、利用相似变换将矩阵对角化三、实对称矩阵的性质五、小结四、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化上一页下一页返回2一.相似矩阵的概念与性质定义5.2设A，B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,1BAPP则称A与B是相似的，称为对A作相似变换，APP1上一页下一页返回3矩阵的相似关系是一种等价关系，即有（1）自反性（2）对称性（3）传递性.1AAEE因为,,11CBQQBAPP因为.1CPQAPQ则1,PAPB因111PBPA则上一页下一页返回4相似矩阵的性质:性质1相似矩阵具有相同的秩及相同的行列式.证若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使则A与B等价，所以秩相同，且性质2相似矩阵若可逆，则逆矩阵也相似.,1BAPP.1APAPB上一页下一页返回5性质3若A与B相似,则Ak与Bk相似,其中k为自然数.定理5.1相似矩阵有相同的特征多项式及相同的特征值.证相似与BAPEPAPPEB11BAPPP1,使得可逆阵证由得1,PAPB1()kkPAPB而11111()()()()kkPAPPAPPAPPAPPAP所以相似。kkAB与上一页下一页返回6注：（1）定理的逆命题并不成立，即特征多项式相同的矩阵不一定相似.例（2）若A与一个对角矩阵相似，则对角矩阵的对角线元素为A的特征值.非零对角线元素的个数为A的秩,对角线元素的乘积为A的行列式.,AB11100101的特征多项式相同,但不相似.PEAP1.EAPEAP1上一页下一页返回7AnAPPAP1,,,.对阶方阵若可找到可逆矩阵使方为对角阵这就称阵为对角化把证明,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把二、利用相似变换将方阵对角化2nAAAn..()阶矩阵与对角矩阵相似即能对定理5角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量上一页下一页返回8nnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有nppp,,,211,,1PAPAPP得由上一页下一页返回9.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA12,,,,.npppP又由于线性无关所以可逆命题得证.12,,,,,.nAnnpppnPAPP反之由于恰好有个特征值并可对应地求得个特征向量,这个特征向量即可构成矩阵使因此，12,,,.nppp线性无关上一页下一页返回10注：（1）方阵A如果能够对角化，则对角矩阵Λ在不计λk的排列顺序时Λ是唯一的，称为A的相似标准形。（2）相似变换矩阵P就是A的n个线性无关的特征向量作为列向量排列而成的。上一页下一页返回11说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论1nAAn如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．AAnnA推论2如果对于n阶方阵A的任一k重特征值λ，有r(A－λE)=n－k，则A可对角化。上一页下一页返回12利用相似变换将矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将n个线性无关的特征向量组成矩阵P.3.2.;,0的特征向量求出由AxEAi1.0AEA|,;由|求的特征值上一页下一页返回13例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？且求矩阵P242422221)1(A201335212)2(A解EA由)1(7220242422221.7,2321得上一页下一页返回14AEx1220,将代入由1221222244000244000AE得基础解系.110,10221上一页下一页返回1537,0,AEx对代入求得基础解系.,3化可对角因而个线性无关的特征向量有即AA,同理因此,P201012112且PAP1227T(,,)3122上一页下一页返回16212533102AE31201335212)2(A.1321的特征值为所以A,01xEA代入把解之得基础解系故不能化为对角矩阵.AT(,,),111上一页下一页返回例2已知是矩阵的一个111=2125312Aab特征向量。(1)试确定参数a,b及所对应的特征值；（2）A能否对角化。解由即A,21210()5310,1210AEξab17上一页下一页返回解方程得为所对应的特征值.1,0,3,1baξ2122533102A（）由，则3212533(1)102AE，因此的特征值为.A132118上一页下一页返回解方程组，由()AEx0则，得线性无关的特征向量只有()2rAE一个，故不能相似于对角矩阵.A19312101523~011101000AE，上一页下一页返回20解例3已知,A142034043求().nAnN,,.A123155所以的全部特征值为()155AE142034043上一页下一页返回21它们对应的特征向量分别为令.123121012011，，(,,)P123121012021，上一页下一页返回22所以因此易求得APP1kkAPP1.PAP1100050005则有上一页下一页返回所以23()nnnA1011001211201205005502100521055P11011205521055，上一页下一页返回24(())(())(())(()).(())(())nnnnnnnnnnnn11111111112511541105141251102511541上一页下一页返回25例4设矩阵与相似，其中AB2001002202031100AB，，xy求与的值.xy解的特征多项式为AAEx20022311上一页下一页返回显然，的特征值为.由于与相似，By,2,1AB26所以必定为的特征值，将y,2,1A1代入的特征方程得，则的特征多项式为A0xA特征值为，所以.122,,2y()[()]xx2212，另解：由A与B相似，则||||;ABtrtr.AB()()222，上一页下一页返回三、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．27定义5.3如果阶方阵满足nTAAE（即）1TAA那么称为正交矩阵.A定理5.3设都是n阶正交矩阵，则,AB（1）1;A上一页下一页返回28定理5.4对称矩阵的特征值为实数.证明,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0,xxAx即,的表示用共轭复数xAxA则.xxAx,的表示xx共轭复向量（2）的列（行）向量组是两两正交的单位向量；A（3）（即）也是正交矩阵；TA1A（4）也是正交矩阵.AB上一页下一页返回29于是有TTTT,xAxxAxxxxxTT()xAxxAx及TTAxxAxxT.xx两式相减，得T0.xx,0x但因为,0,即.是实数由此可得T2110,nniiiiixxxxx所以上一页下一页返回30定理5.4的意义.,0,0)(,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵EAxEAAiii上一页下一页返回311212121255,,,,,..Apppp设是对称矩阵的两个特征值是对应的特征向量若则与定理正交证明,,,21222111AppApp,,AAAT对称,ppAppApATTTTTT1111111于是,pppApppppTTTT11212122212.ppT12120,21.21正交与即pp.ppT120上一页下一页返回326AnArAErAEnrr,,(),..设为阶对称矩阵是的特征方程的重根则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的定理特征向量5证明略.定理5.6说明，实对称矩阵必可对角化．实际上对实对称矩阵，更有如下重要结论.上一页下一页返回3317,,,..AnPPAPAn设为阶对称矩阵则必有正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元素的对定阵理5角矩证设的互不相同的特征值为他们的A,,,,21s重数显然，,,,,21srrr.21nrrrs根据定理5.6，对应重特征值，),,2,1(sjrjj恰有个线性无关的特征向量，把他们正交化并jr单位化，即得个单位正交特征向量．由定理5.6，jr上一页下一页返回1PAP这个单位特征向量两两正交．以它们为列向量构n成正交矩阵,有P其中的对角元素恰为的个特征值.An注定理的证明过程给出了求正交矩阵的方法.P上一页下一页返回35根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：四、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法1.;的特征值求A2.0iiAEx,A由求出的对应于特征向量,并将它们正交化、单位化。将上述个特征向量按列排成矩阵，则3.nP1PAP上一页下一页返回36解20212022EA2140.2,1,4321得,020212022)1(A310130004)2(A例4对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P(1)第一步求的特征值A上一页下一页返回37的特征向量求出由第二步AxEAi,0140,,AEx对代入由2201024232012024000AE得基础解系.1221上一页下一页返回38210,,AEx对代入由120101202021021000AE得基础解系.2122上一页下一页返回393220,,AEx类似对得方程组解之得基础解系.2213第三步将特征向量正交化.,,