ESPRIT方法清华大学《现代信号处理》讲义-张贤达.ppt

3.6ESPRIT方法EstimatingSignalParametersviaRationalInvariantTechnique()()()nnnxAsw()(1)()(1)nnnnyxAΦsw11(1)(1)11ppjjjmjmeeeeAipjjeeΦ旋转矩阵1.基本ESPRIT方法2HxxRAPAI()()HEnnPss2()()HHHxyEnnRxyAPΦAZ0010010mmZ⑴特征值分解，得到2HxxxxCRIAPAxxR2⑵2HHxyxyCRZAPΦA⑶矩阵对(束),xxxyCCmatrixpair,matrixpencil的广义特征值分解的定义:A,B若，则称为的广义特征值，称为广义特征向量，称为广义特征对。AuBuA,Bu,u若不是的广义特征值，则非奇异;A,BAB当且仅当是的广义特征值时，奇异(秩亏缺)A,BAB满秩广义特征值的定义：广义特征值是广义特征多项式的根||0AB1diag,,pjjeeΦ由知,,HHHxxxyCCAPAAPΦAHHHHHxxxyCCAPAAPΦAAPIΦArankrankHxxxyCCIΦ当时，矩阵才是秩亏缺的,1,,ijeip即矩阵束的广义特征值就是xxxyCC,,HHHxxxyCCAPAAPΦA1,,pjjee基本ESPRIT算法1：⑴构造和xxR⑵计算的特征值分解，得到⑶计算和xyRxxR22HxxxxCRIAPA2HHxyxyCRZAPΦA⑷计算矩阵束的广义特征值分解，所有在单位圆上的广义特征值给出空间参数的估计,xxxyCC1,,p2.TLS-ESPRIT方法以上广义特征值分解——LS-ESPRIT12,RRmm维1111220,00HHHVΣRUΣVUUV1111HURVΣ121121rankrankHRRURRV1121HΣURV的GEV的GEV12,RR1121HΣURVTLS-ESPRIT(IEEET-SP,1995)3.ESPRIT方法的另一种形式1()(),,()Tmtxtxtx111()(),,()(1)(1)Tmtxtxtmmx22()(),,()(1)(1)Tmtxtxtmmx子阵列1:子阵列2:()()()tttxAsw11(1)()(1),,()(1)()mmxxNNxxNXxx令11111(1)()(1)()mmxxNxxNX222(1)()(1)()mmxxNxxNX定义选择矩阵和，则11,mJI021,mJ0I1122XJXXJX12XXASWX第一行最后一行12AAA第一行最后一行21AAΦ旋转矩阵Vandermonde矩阵不考虑噪声时11221XASXASAΦS2222,,HHxxnHnHHHnnnHnsssssssssUΣ0RAPAIUU0IUUUΣUUΣUUUUHHnnssIUUUU2HHHsssssAPAUUUΣU两边同乘sU2HsssAPAUUΣI12HsssUAPAUΣIATT非奇异12sUUU第一行最后一行12sATUATAT第一行最后一行1122UATUAT221UATAΦT111112UTΦTATTΦTAΦTU定义：，则1ΨTΦT12UΨU旋转矩阵的相似变换11,det()det()det(())=det()det()det()=det()det()det()=det()zzzzzz1111BSASBISASSSSAISSAISSSAIAI相似变换若则1ABUBBUAUA即相似矩阵和具有相同的特征值，但特征向量一般不同。特别地，若为酉矩阵，为对角矩阵，则是矩阵的特征值分解。基本ESPRIT算法2：⑴的特征值分解，得到xxR,nsUUU⑵12sUUU第一行最后一行⑶因为，所以是的广义特征值12UΨUΨ12,UU广义Rayleigh商定义：()HHRuAuuuBuminmax,(,)(,)):::1::ikiRRcQikQicuABusmm是矩阵对的最小广义特征值与最小广义特征向量，而(,则是最大广义特征对。模式类型个数，特征个数用第类信号第组数据抽取的样本特征向量第类信号样本特征向量的均值向量类目标特征向量总的均值向量•类内散布矩阵(withinclassscattermatrix)•类间散布矩阵(betweenclassscattermatrix)准则函数：,,1111()()()iNcTwikiikiikiQQcNssmsm维11()()()cTbiiiQQcsmmmm维maxmaxTbTwRUSUUSU1maxTQibiTiiwiuSuuSu111,1,,(,)1,,1,=[,,]ibwccTikcikikiiccuSSUuuyUss是矩阵对的第个最大广义特征值对应的广义特征向量。令则矩阵的列构成类信号的最优类鉴别子空间。描述样本特征向量在最优类鉴别子空间的投影。若不同类型的特征向量投影分别用，，等符号画出，则投影图直观地给出了不同特征的类鉴别性能。本章总结ARMA()()Pisarenko()Prony()CaponMUSICESPRIT谱估计差分模型等价关系最大熵方法信息论功率谱估计谐波分解特征值分解扩展方法复指数模型拟合现代谱估计波束形成器空间谱空间谱估计子空间方法广义特征值分解习题•题3.20(计算机仿真实验)