1.2热传导方程和定解条件(0)

11.1弦振动方程与定解条件给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。2uxOl1M2M1x2x0T0T12).(|)(|122201222xxxuTxxtu,12xx当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得消去并令,12xx.22022xuTtu3uxOl1M2M1x2x0T0T12上式化为.,0222222Taxuatu其中这个方程称为弦的自由横振动方程。在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。4uxOl1M2M1x2x0T0T12若还有外力作用到弦上，其方向垂直于x),,(txF),(21xx轴，设其力密度(单位长度上弦受力)为由于弦段很小，其上各点处的外力近似相等，因此作用在该段上的外力近似地等于).)()(,(2112xxxxtF5uxOl1M2M1x2x0T0T12同样应用牛顿第二定律，得).)(,()(|)(|12122201222xxtFxxxuTxxtu,12xx消去并令,12xx则得弦的强迫横振动方程.),(),(,),,(0222222txFtxfTatxfxuatu其中受到与弦垂直方向的力的作用时，弦运动为受迫振动。6弦振动方程中只含有两个自变量x,txt和其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为一维波动方程。类似地可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播），它们的形式分别为),,,()(2222222tyxfyuxuatu).,,,()(222222222tzyxfzuyuxuatu7二、定解条件对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量所满足的方程还是不够的，还要附加u一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的初始状态以及边界上的物理情况。定解条件包括初始条件和边界条件。初始条件：表征某过程“初始”时刻状态的条件。对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在“初始”时刻的位移和速度。),(|0xut).(|0xtut初始位移初始速度8边界条件：表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件。对于弦振动问题而言，有三种基本类型：1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）0x)(1t0x);(|10tux.0|0xu弦的一端的运动规律已知，为例，若以表示其运动规律，则边界条件可以表达为特别的，若端被固定，则相应的边界条件为非齐次边界条件齐次边界条件以92、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）0xxuT0).(|20txux.0|0xxux若弦的一端（例如）在垂直于轴的直线上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界成为自由边界.根据边界微元右端的张力沿垂直方向的分量是，得出在自由边界时成立若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函数，则相应的边界条件为非齐次边界条件齐次边界条件103、第三类边界条件（鲁宾Robin）lx,0xuT若弦的一端（例如）固定在弹性支承上，并且弹性支承的伸缩符合胡克定律.为则u在端点的值表示支承在该点的伸长。弦对支承拉力的垂直方向分量为若支承的位置,0u由胡克定律得.||0lxlxkuxuT因此在弹性支承的情形，边界条件归结为.0||0lxlxuTkxu11在数学中也可以考虑更普遍的边界条件非齐次边界条件,0|)(lxuxu齐次边界条件0/Tk其中是已知正数.),(|)(3tuxulx)(3t其中是t的已知函数。因此在弹性支承的情形，边界条件归结为12,22222xuatu,0|0xu),(|0xut).(|0xtut.0|lxu定解问题定解问题：由泛定方程和定解条件构成的问题根据定解条件的不同，定解问题又细分为：混合问题或初边值问题；初值问题或柯西（Cauchy）问题；边值问题两端固定的弦的自由振动问题131.2热传导方程与定解条件),,(zyxt热传导现象：一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出热传导方程。为此，我们用函数如果空间某物体G内各处的温度不同，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点流动。表示物体G在位置),,,(tzyxu处及时刻的温度。14热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：物体在无穷小时段内流过一个无穷小面积dtdSdQdSnu,),,(dSdtnuzyxkdQ),,(zyxk),,(zyxkndS的热量与物体温度沿曲面法线方向的方向导数成正比，而热流方向与温度升高的其中称为物体在点处的热传导系数，为正值.当物体为均匀且各向同性时，为常数，为曲面沿热流方向的法线.方向相反，即15u,2tnu,][211dtdSnukQtt1t,u为了导出温度所满足的方程,在物体G内任取一闭曲面它所包围的区域记作则从时刻到时刻经过曲面流入区域的热量为其中表示对曲面的外法向导数..coscoscoszuyuxunu,),,(dSdtnuzyxkdQ16),(21tt),,,(1tzyxu),,,(2tzyxu,)],,,(),,,()[,,(),,(122dvtzyxutzyxuzyxzyxcQc流入的热量使区域内部的温度发生变化,在时间间隔中物理温度从变化到所需要的热量为其中为物体的比热,为物体的密度.如果所考察的物体内部没有热源,由于热量守恒,12QQdvtzyxutzyxuc)],,,(),,,([12dtdSnuktt21][17先对1Q,][211dtdSnukQtt进行变形.])coscoscos([211dtdSzuyuxukQtt利用奥-高(Gauss)公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(uzyx,,t1Q;})]()()([{dtdvzukzyukyxukxQtt211设函数关于变量具有二阶连续偏导数,关于变量具有一阶连续偏导数,可化为182QdvtzyxutzyxucQ)],,,(),,,([122dvdttuctt)(21,)(21ttdtdvtuc而可化为因此由dvtzyxutzyxuc)],,,(),,,([12dtdSnuktt21][21)(ttdtdvtucdtdvzukzyukyxukxtt})]()()([{21移项即得（利用牛顿-莱布尼兹公式）19.})]()()([{021dtdvzukzyukyxukxtuctt2,1tt,,ck,/2ack).(2222222zuyuxuatu由于与区域都是任意取的,并且被积函数是连续的,于是得).()()(zukzyukyxukxtuc上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.如果物体是均匀的,此时为常数,记则得齐次热传导方程20),(21tt),,,,(tzyxF.)),,,((213dtdvtzyxFQtt如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有电流,或有化学反应等情况),设热源密度(单位时间内单位体积所产生的热量)为则在时间间隔中区域内所产生的热量为同样由于热量要平衡,dvtzyxutzyxuc)],,,(),,,([12dtdSnuktt21][.)),,,((21dtdvtzyxFtt21dtdvzukzyukyxukxtuctt})]()()([{21.)),,,((21dtdvtzyxFtt).,,,()()()(tzyxFzukzyukyxukxtuc).,,,()(2222222tzyxfzuyuxuatu./),,,(),,,(ctzyxFtzyxf其中非齐次热传导方程相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。22二、定解条件初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况),,,(|),,,(0zyxtzyxut),,(zyx),,,,(1tzyxf),,,,(|),,,(1tzyxftzyxuS其中为已知函数。1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体表面温度函数为即.),,(Szyx232、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）,|Snukq,q),,,,(|2tzyxfnuS特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,绝热性边界条件已知物体表面上各点的热流量kqtzyxf/),,,(20t.0|Snu也就是说在单位时间内流过单位面积的热量是已知的，其中由傅里叶实验定律可知是定义在边界曲面S，且上的已知函数.则相应的边界条件为243、第三类边界条件（鲁宾Robin）,1u.u,)(1dSdtuuhdQ考察将物体置于另一介质中的情形.设和物体接触的介质温度为物体表面的温度为h若物体表面温度与介质温度不相同,则在物体表面处与周围介质产生热交换.利用热传导中的牛顿实验定律:物体从一介质到另一个介质的热量与两介质间的温度差成正比,其中的比例常数成为两介质间的热交换系数.即可得流过物体表面S的热量为25,1S1S1S,dSdtnukdQ,)(1dSdtuuhdSdtnuk.1huhunuk由于热量在物体表面不能积累,现在物体内部作一无限贴近物体表面S的闭曲面则在曲面上的热流量应等于表面S上的热流量.流过曲面的热量为则有关系式),,,(3tzyxf),,,,(|)(3tzyxfunuS,kh0,),,(tSzyx其中是定义在上的已知函数.