1.2空间几何体的三视图和直观图解析

1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【考纲要求】[学习目标]1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．[目标解读]1．会画简单空间图形的三视图是重点；2．识别三视图所表示的立体模型是难点．【自主学习】1．投影(1)投影的定义由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把叫做投影线，把的屏幕叫做投影面．(2)投影的分类①中心投影：光由散射形成的投影．②平行投影：在一束照射下形成的投影．当投影线时，叫做正投影，否则叫做．(3)投影的性质①中心投影的性质：中心投影的交于一点；当光源距离物体越近，投影形成的影子．②平行投影的性质：平行投影的投影线．2．三视图(1)分类①正视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；②侧视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；③俯视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图．(2)三视图的画法规则①视图都反映物体的长度——“长对正”；②视图都反映物体的高度——“高平齐”；③视图都反映物体的宽度——“宽相等”．特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．【考点突破】要点一平行投影与中心投影中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，是投影的两种形式．通过中心投影与平行投影将三维物体转换成二维平面物体，可以通过投影想象实际物体的形状，但还不能完全反映真实情况，只能反映部分形状，只有在特殊情况下反映真实尺寸．画立体几何图形时一般采用平行投影法，画实际效果图时采用中心投影法，中心投影的投影线交于一点，点光源离物体越近，投影形成的影子越大；平行投影的投影线是平行的．典型例题1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形【思路启迪】先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形BFD′E四点在各投影面的位置．再把各投影点连线成图．【解析】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．方法指导：画出一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)，先画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在投影面上的投影．反馈训练1、如图甲所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．要点二画空间几何体的三视图1.三视图是用两两相互垂直的三个平面(正面、侧面、水平面)作为投影面，把物体放在这个空间内，分别向三个平面进行正投影，然后将水平投影绕水平面和正面的交线向下转90°，将侧面投影绕侧面和正面的交线向右转90°，就得到了三视图，即画出的三视图需要符合长对正、高平齐、宽相等的基本特征．2．画简单组合体的三视图时，先要分析该组合体的结构特征，再想象模型，从正前方、左方、正上方三个不同角度各能看到什么形状，再借助简单几何体的三视图，画出简单组合体的三视图．典型例题2、画出下列几何体的三视图．【思路启迪】先弄清几何体的结构特征，再确定三视图的形状，并注意轮廓线的虚实．【解】(1)三视图如图所示．方法指导：(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等．(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．反馈训练2、画出如下图所示的四棱锥的三视图．要点三识别三视图所表示的几何体根据三视图还原几何体，要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综合三视图的形状，从不同的角度去还原．通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定几何体的结构特征．典型例题3、下图是一个几何体的三视图，请你想象这个几何体的形状，并画出这个几何体．【思路启迪】根据几何体的结构特征进行空间想象，再进行合理分析．【解】这是一个简单的组合体：上部是一个圆柱，下部是一个长方体，几何体如图所示：方法指导：综合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．反馈训练3、如图是一个几何体的三视图，由图可以判断此几何体是________．考点巩固1．如果图形所在的平面不平行于投影线，那么下列说法正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．正方形的平行投影一定是矩形D．正方形的平行投影一定是菱形2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①④D．②④3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()4．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．5．如图所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的面上的投影可能是图中的________．6．如图，直三棱柱的侧棱长和底边长均为2，正视图与俯视图如图，则该直三棱柱的侧视图面积为________．7．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．8．如图是用小正方体搭的一个几何体的正视图与俯视图，它最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？考点归纳-答案1、解析：从平行投影的性质进行分析，平行投影只保持平行性，其他的如垂直、夹角等则不一定保持．答案：B2、解析：①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④正四棱锥，正视图和侧视图相同．答案：D3、解析：根据正投影的性质，并结合侧视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D.答案：D4、解析：①中三视图完全相同的还可以是球；②中如果将一个圆柱横放，则其正视图和俯视图都是矩形；④中正视图和侧视图都是等腰梯形的几何体还可以是棱台．故正确的是③.答案：③5、解析：四边形BFD′E在正方体ABCD－A′B′C′D′的面ADD′A′和BCC′B′上的射影是C；在面DCC′D′上的射影是B，同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的射影也全是B.答案：BC6、解析：该直三棱柱的侧视图是长为2，宽为3的矩形，其面积为23.答案：237、解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．8、解：最少需要9个小正方体；最多需要15个小正方体．1.2.3空间几何体的直观图【考纲要求】[学习目标]1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．[目标解读]1．斜二测画法的概念是重点；2．应用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图是难点．【自主学习】1．直观图空间几何体的直观图通常是在投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们分别画成对应的x′轴与y′轴，其交点为O′，且使∠x′O′y′=(或)，它们确定的平面表示．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，使∠x′O′z′=，且平行于O′z′的线段长度．【考点突破】要点一水平放置的平面图形的直观图的画法1.用斜二测画法画直观图要掌握：水平长不变，垂线长减半，直角化成45°，遮挡线条改虚线，竖线长也不变，也就是把握住一斜——已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半．2．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．典型例题1、如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图．【解】(1)以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图(1))，再建立坐标系x′O′y′，使两轴的夹角为45°(如图(2))；(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝12AE，B′C′＝12BC.在y′轴上截取O′D′＝12OD.(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，得到平面图形A′B′C′D′E′.(3)擦去辅助线，就得到所求的直观图(如图(3))．方法指导：利用斜二测画法画直观图时应注意：(1)在已知图形中x轴，y轴的选取，应尽可能多的使图形的点落在坐标轴上，有的点不满足时应作辅助线，与x轴，y轴垂直的线段是最常用的辅助线．(2)垂直于x轴，y轴的线段在坐标系x′O′y′下的长度变化切勿混淆．反馈训练1、用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．要点二空间几何体的直观图的画法几何体的直观图的画法规则，与平面图形的画法相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．在直观图上，x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和平面z′O′x′表示直立平面．画空间图形的直观图的原则：1．首先在原几何体上建立空间直角坐标系O－xyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与x′轴垂直．2．作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．典型例题2、画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．【思路启迪】先画底面，即先按照水平放置的平面图形的直观图的画法画正六边形，再画侧棱，最后成图．【解】画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．按x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图)．方法指导：(1)空间几何体直观图的画法规则与平面图形的画法相比，只是多画一个与x轴和y轴都垂直的z轴，表示竖直方向；平行于z轴或在z轴上的线段，方向与长度都与原来保持一致．(2)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出来．第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠