1.2解三角形应用举例(优秀课件)

1.2解三角形应用举例高度角度距离有关三角形计算距离的测量1、正弦定理：知识点小结sinCcsinBbsinAa可以解决的有关解三角形问题：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC可以解决的有关解三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。2、余弦定理：经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。光学经纬仪钢卷尺ABC引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？）的距离（精确到求通过测量得：mABCAmAC1.0,50,75,5000练习1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？BACba，则为角以及距离为测量得出取某一点CabBCACC,,,由余弦定理得：cos222abbaAB练习2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A点到B点用了t秒，请你设计方案求汽车的速度？分析：用引例的方法，可以计算出AC,BC的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ACBACBD解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得)sin()sin()(180sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离cos222BCACBCACABtABv所以，汽车的速度测量问题之一：水平距离的测量①两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示)需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的长。②两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示)需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。图1图2③两点都不能到达1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三子角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解应用题的一般步骤是：小结A.202米B.203米C.402米D.206米练习1如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是答案解析数学作业：1.A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求AB两点的距离。2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，求x的值。3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.132.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为答案解析在△ABC中，由ABsin45°＝50sin30°，∠B＝180°－45°－105°＝30°，A.502mB.503mC.252mD.2522m√得AB＝100×22＝502.1233.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是___.由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.134答案解析4.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为____km.7答案解析1.2解三角形应用举例高度角度距离有关三角形计算高度和角度的测量解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，如图..,1的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部、例ABABAB问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的长，所得结果再加上h.梳理BEAHGDC练习1:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角β＝30°。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABC)(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得，解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为14米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，仰角为8º，求此山的高度CD.14.08tan,17.010sin,26.015sin000梳理问题本质是：如图，已知三棱锥D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长．练习如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解答例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？143538sin09,14,10ACxABxCBBxAB追上走私船，则处小时后在方向经过解：设巡逻船沿0001204575ACB02220222120cos1092)10(9)14(120cos2xxxBCACBCACAB即由余弦定理得)(16923,02730322舍去或解得化简得：xxxx21,15ABCB1435120sinsin0ABCBBAC038BAC答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解答3a当堂训练1江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____m.在△ABC中，由题意可知AC＝30tan30°＝303(m)，设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，30BC＝30tan45°＝30(m)，C＝30°，AB2＝(303)2＋302－2×303×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m).答案解析1232.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________.答案解析甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(米)，203米、4033米乙楼的高为203－20tan30°＝203－20×33＝4033(米).3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是A.10mB.102mC.103mD.106m答案解析4.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是123答案解析A.102nmileB.103nmileC.202nmileD.203nmile√