数学归纳法及其应用举例

第二章数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例教学目标重点难点教学内容随堂练习课堂总结课后作业教学目标（1）掌握数学归纳法的思想（2）数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，也是一种重要的数学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法重点难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析难点：数学归纳法中递推思想的理解演绎推理推理方法归纳推理(一般到特殊)(特殊到一般)完全归纳不完全归纳三段论教学内容(1)不完全归纳法引例明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明．(2)完全归纳法对比引例教学内容例题引入问题情境一:问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:如果{an}是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d?完全归纳法不完全归纳法模拟演示在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1=a1=a1+0d,a2=a1+d=a1+1d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,……an=?归纳an=a1+(n1)d数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。201234221351725765537...21nnnnaaaaaaaN中，，，，，结论：是质数(n)欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。2521542949672976700417641nnana中，时，费马您错了！问题情境二:不完全归纳法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.归纳法:（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法优点：考查全面，结论正确;缺点：工作量大，有些对象无法全面考查.优点：考查对象少，得出结论快;缺点：观察片面化，结论不一定正确.如何解决不完全归纳法存在的问题呢？多米诺骨牌课件演示如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（2）验证前一问题与后一问题有递推关系.（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌）问题情境三:数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整一、数学归纳法定义：例1、是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.2)12)(12(5323112222bnnannnn解:令n=1,2,并整理得.41{,231013{bababa以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当n=k时结论正确,即:.24)12)(12(5323112222kkkkkk则当n=k+1时,.2)1(4)1()1(6423)32)(12(2)2)(12)(1()32)(12(2)2232)(1()32)(12(2)1(2)32)(1()32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(5323112222222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:.12nnnaaS.1nnan证:(1)当n=1时,=1,结论成立.111,11)1(211211111aaaaSa(2)假设当n=k时,结论成立,即.1kkak则当n=k+1时,.)111(21)1(21kkkkkaaSkkk).0(1012)1(21111211111kkkkkkkkkakkaakakaaSSa故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有kkkkyyxxyx22222222))(()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk都能被x+y整除.))(()(2222yxyxyyxxkkk、故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例、平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数为多少?并证明.)(nf2)1()(nnnf当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)=×2×(2-1)=1,∴命题成立。21∴k+1条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。212121212）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为f(k)=k(k-1),21(3)数学归纳法证明几何问题：例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。例题讲解证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1)·d=a1,∴当n=1时，等式成立(2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k-1)d则当n=k+1时ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d∴当n=k+1时，等式也成立。由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。凑假设结论从n=k到n=k+1有什么变化证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据例2.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2练习用数学归纳法证明:(1))1(21321nnn（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1（3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1感悟与收获(1)本节的中心内容是归纳法和数学归纳法;(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法二种;(3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行;(4)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明必须要利用假设的结论。今日作业课本P27习题2.1第4题，第5题。