第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语考点一集合的概念及运算一、基础知识要记牢1．集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．2．运算性质及重要结论如(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A等．二、经典例题领悟好[例1](1)(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1x1}，Q＝{x|0x2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,2)(2)(2018届高三·金丽衢联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[解析](1)根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．(2)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案](1)A(2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．(2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.三、预测押题不能少1．(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析：选C因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．(2)设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．因为x∈A∩B，所以x可取0,1；因为y∈A∪B，所以y可取－1,0,1,2,3.则(x，y)的可能取值如下表所示：yx－101230(0，－1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，－1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)故A*B中的元素共有10个．考点二四种命题及其关系一、基础知识要记牢与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提，其他三种命题需保留大前提；(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题：前者既否定条件，又否定结论，后者只否定命题的结论；(3)互为逆否关系的命题真假相同，所以四种命题的真假个数一定为偶数．二、经典例题领悟好[例2](1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4(2)(2017·金华一中模拟)下列命题中为真命题的是()A．命题“若xy，则x|y|”的逆命题B．命题“x1，则x21”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x20，则x1”的逆否命题[解析](1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴z＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．(2)对于A，其逆命题是：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|≥y，必有xy；对于B，其否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝251；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x20，则x0或x0，不一定有x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．故选A.[答案](1)B(2)A1在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.3根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2．(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析：选C命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数．(2)有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的．故选D.考点三充要条件一、基础知识要记牢对于p和q两个命题，若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p和q互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3](1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4＋S62S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设A＝xx－1x＋10，B＝{x||x－b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．[解析](1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d0⇔S4＋S62S5，所以“d0”是“S4＋S62S5”的充分必要条件．(2)A＝{x|－1＜x＜1}，当a＝1时，B＝{x|b－1＜x＜b＋1}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则有－1≤b－1＜1或－1＜b＋1≤1，所以b∈(－2,2)．[答案](1)C(2)(－2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.2要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3．(1)“10a10b”是“lgalgb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由10a10b得ab，由lgalgb得ab0，所以“10a10b”是“lgalgb”的必要不充分条件．(2)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Ap表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.[知能专练(一)]一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2x1}，B＝{x|x－1或x3}，则A∩B＝()A．{x|－2x－1}B．{x|－2x3}C．{x|－1x1}D．{x|1x3}解析：选A由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2x－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0解析：选D“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Bln(x＋1)0⇔0x＋11⇔－1x0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x0”是“ln(x＋1)0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x1或x－3，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－3，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选A设P＝{x|x1或x－3}，Q＝{x|xa}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)0，x∈Z}＝{x|－1x2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x∈A)的值域为B，则(∁RA)∩B等于()A．{x|1x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|x1}解析：选A由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁RA＝{x|x0或x1}，∴(∁RA)∩B＝{x|1x≤2}．7．设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．若n＝4，则Sn的所有奇子集的容量之和为()A．7B．8C．9D．10解析：选A若n＝4，则Sn的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充