江苏地区高考数学一轮复习第三章3.5二倍角的三角函数课件

高考数学(江苏省专用)§3.5二倍角的三角函数(2015江苏,15,14分,0.891)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.A组自主命题·江苏卷题组五年高考127sinABCsinBCAABBC2sin60721721sinC317277217277437解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3× =7,所以BC= .(2)解法一:由正弦定理知, = ,所以sinC= ·sinA= = .因为ABBC,所以C为锐角,则cosC= = = .因此sin2C=2sinC·cosC=2× × = .解法二:由余弦定理得cosC= = ,因为C∈(0,π),所以sinC= = ,因此sin2C=2sinCcosC=2× × = .2222BCACABBCAC27721cosC217217277437考点一二倍角的三角函数的基本运用1.(2017山东文改编,4,5分)已知cosx= ,则cos2x=.34B组统一命题·省(区、市)卷题组答案 18解析本题考查二倍角余弦公式.因为cosx= ,所以cos2x=2cos2x-1=2× -1= .34234182.(2016课标全国Ⅲ改编,6,5分)若tanθ=- ,则cos2θ=.13答案 45解析解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ= = = .解法二:由tanθ=- ,可得sinθ=± ,因而cos2θ=1-2sin2θ= .2222cossincossinθθθθ221tan1tanθθ451311045评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.3.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 =.88答案 22解析由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .884224.(2013浙江理改编,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα= ,则tan2α=.102答案- 34解析(sinα+2cosα)2= ,展开得3cos2α+4sinαcosα= ,再由二倍角公式得 cos2α+2sin2α=0,故tan2α= =- =- .523232sin2cos2αα32234考点二公式的综合运用(2016课标全国Ⅱ改编,11,5分)函数f(x)=cos2x+6cos 的最大值为.2x答案5解析f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2 + ,当sinx=1时,f(x)取得最大值5.23sin2x112思路分析利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos2x+6cos 转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].2x(2013广东理,16,12分)已知函数f(x)= cos ,x∈R.(1)求f 的值;(2)若cosθ= ,θ∈ ,求f .解析(1)f = cos - -  = cos = cos =1.(2)f = cos = cos =cos2θ-sin2θ.因为cosθ= ,θ∈ ,所以sinθ=- ,所以sin2θ=2sinθcosθ=- ,212x6353,2223θ62612242423θ22312θ224θ353,22452425C组教师专用题组cos2θ=cos2θ-sin2θ=- ,所以f =cos2θ-sin2θ=- - = .72523θ72524251725一、填空题(每题5分,共20分)1.(2017江苏常州高三第一学期调研,10)若f(x)=sin 的周期为α,tan(α+β)= ,则 的值为.84x131cos2sin2ββ三年模拟A组2015—2017年高考模拟·基础题组(时间：35分钟分值：40分)答案- 12解析由f(x)=sin 的周期为α,可得α= = ,由tan(α+β)= ,可得 = ,则tanβ=- ,所以 = = =tanβ=- .84x284131tan1tanββ13121cos2sin2ββ22sin2sincosβββsincosββ122.(2016江苏无锡普通高中期末,7)已知sin(α-45°)=- 且0°α90°,则cos2α的值为.210答案 725解析因为sin(α-45°)=- ,且0°α90°,所以cos(α-45°)= = .cos2α=sin(90°-2α)=-sin(2α-90°)=-sin[2(α-45°)]=-2sin(α-45°)cos(α-45°)=-2× × = .21022110721021072107253.(2016江苏扬州中学四模,6)函数y=sinα(sinα-cosα) 的最大值为.,02α答案 + 1222解析y=sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα= - sin2α= - cos2α- sin2α= - sin .∵α∈ ,∴- ≤2α+ ≤ ,∴当2α+ =- 时,函数取最大值,ymax= + .1cos22α12121212122224α,0234444212224.(2015江苏常州期末,5)函数f(x)=cos · 的最小正周期为.2xsin3cos22xx答案2π解析f(x)=cos  = sinx- (cosx+1)=sin - ,所以f(x)的最小正周期为2π.sin3cos22xx12323x322x二、解答题(共20分)5.(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模,15)已知sin = ,α∈ .求:(1)cosα的值;(2)sin 的值.4α210,224α解析(1)解法一:因为α∈ ,所以α+ ∈ ,又sin = ,所以cos =- =- =- .所以cosα=cos =cos cos +sin sin =- × + × =- .解法二:由sin = 得sinαcos +cosαsin = ,即sinα+cosα= ,结合sin2α+cos2α=1,得cosα=- 或cosα= .,2435,444α2104α21sin4α22110721044α4α44α472102221022354α21044210153545因为α∈ ,所以cosα=- .(2)因为α∈ ,cosα=- ,所以sinα= = = .所以sin2α=2sinαcosα=2× × =- ,cos2α=2cos2α-1=2× -1=- .所以sin =sin2αcos -cos2αsin = × - × =- .,235,23521cosα2315454535242523572524α4424252272522172506.(2015江苏苏州二模,15)设 α ,sin = ,求 的值.3344α35sincos21tanααα解析由 α ,得 α-  ,又sin = ,所以cos = .所以cosα=cos =cos cos -sin sin = ,所以sinα= .故原式= =cosα(1+2sinα)= .33412424α354α4544α4α44α421072102sin2sinsincosαααα1452508一、填空题(每题5分,共10分)1.(2017苏州高三调研,12)若2tanα=3tan ,则tan =.8αB组2015—2017年高考模拟·综合题组(时间：20分钟分值：20分)答案 15249解析由2tanα=3tan 可得tanα= tan ,所以tan = = ,又tan = =1,所以tan = -1,所以tan = = = .83288αtantan81tantan8αα21tan2831tan28422tan81tan8828α21tan2831tan2821(21)231(21)215249思路分析由2tanα=3tan 可得tanα= tan ,将tan 展开可以转化为含tan 的式子,由tan = =1可计算出tan 的值,再代入计算.83288α8422tan81tan882.(2017江苏扬州期末)已知θ∈ , + =2 ,则sin =.,21sinθ1cosθ223θ答案 12解析由 + =2 得sinθ+cosθ=2 sinθcosθ,两边平方得1+sin2θ=2sin22θ,解得sin2θ=- 或sin2θ=1,∵θ∈ ,∴2θ∈(π,2π),∴-1≤sin2θ0,∴sin2θ=- ,∴sinθ-cosθ= = ,∴cos2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)= ,则sin =sin2θ·cos +cos2θ·sin =- × + × = .1sinθ1cosθ2212,2121sin2θ623223θ331212323212二、解答题(共10分)3.(2015江苏苏锡常镇二模,15)已知函数f(x)=sin +cosx.(1)求函数f(x)的最大值,并写出当f(x)取得最大值时x的取值集合;(2)若α∈ ,f = ,求f(2α)的值.6x0,26α335解析(1)f(x)=sin +cosx= sinx+ cosx+cosx= sinx+ cosx= sin .当x+ =2kπ+ (k∈Z),即x=2kπ+ (k∈Z)时,f(x)取得最大值 .此时x的取值集合为 .(2)由(1)知,f(x)= sin ,又f = ,所以 sin = cosα= ,即cosα= .6x3212323233x3263|2,Z}6πxxkk33x6α335363α333535因为α∈ ,所以sinα= ,所以sin2α=2sinαcosα=2× × = ,cos2α=2cos2α-1=- .0,24545352425725所以f(2α)= sin = sin2α+ cos2α= × - × = .323α3232322425327252432150