量子力学 第二版 第六章__散射 习题答案 周世勋

第六章散射1．粒子受到势能为2)(rarU的场的散射，求S分波的微分散射截面。[解]为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l个分波的相角位移l是表示在辏力场中的矢径波函数lR和在没有散射势时的矢径波函数lj在r时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。矢径的波动方程是：0))1()((12222llRrllrVkdrdRrdrdr其中lR是波函数的径向部分，而EkrUrV2222),(2)(令rrxRll)(，不难把矢径波动方程化为02)1(2222llxrrllkx再作变换)(rfrxl，得0)(221)(1)(2222rfrekrfrrf这是一个贝塞尔方程，它的解是)()()(krBNkrAJrfpp其中222221lp注意到)(krNp在0r时发散，因而当0r时波函数rNRpl，不符合波函数的标准条件。所以必须有0B故)(1krJrARpl现在考虑波函数lR在r处的渐近行为，以便和lj在r时的渐近行为比较，而求得相角位移l，由于：)2sin(1)42sin(1)(llkrrpkrrrR21221224222ldllpl当l很小时，即较小时，把上式展开，略去高次项得到2122ll又因liiel212故02)(cos)1)(12(21)(lliPelikfl02)(cos122)12(21llPlilik02)(cosllPk注意到02121202112121222112)(cos1)(cos1cos211llllllrrPrrrrrPrrrrrrrr当当如果取单位半径的球面上的两点来看则121rr，即有02sin21)(cos)cos1(21llP故2sin21)(2kf微分散射截面为1r2r12r0dEdkdf2csc82sin41)(2222242222由此可见，粒子能量E愈小，则较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数愈大，微分散射截面也愈大。2．慢速粒子受到势能为ararUrU当当,0,)(0的场的散射，若0,00UUE，求散射截面。[解]慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S分波。在ar处，方程为2210lll(l)xkxr其中222Ek在ar处，则有2210lll(l)xkxr其中202)(2EUk而波函数是rxRll在a的情况下，只故虑S分波，即0l的情况，上面两个方程变为0020xkxar0020xkxar其解分别为当ar时，)sin(00krBx当ar时，0xAshkrAchkr由于在0r时，rxR00有限，但1cos0rrk当故0A即)(0arrkAshx在ar处，波函数0R及其微商必须连续，因此得出)sin(0kaBakAsh)sin()cot(0202kaaBkakaBakshaAakchkaA用前式除后式可得)cot(coth0kakakk即)(0katgkkaktgkaaktgkktg10因此S分波的辐射截面是kaaktgkktgkkQ1220220sin4sin4当速度较小时，0k，可以近似地认为2002Ukk这时有0tghkatghka000ktghkakak20022020144akaktgakQ假如0U，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于121)(100022020200kakaktgakaktgakaktg当204Qa3．只考虑S分波，求慢速粒子受到势能4)(rrU的场散射时的散射截面。[解]当只考虑0l，即S分波时，令rR，则x满足的方程是：0242rxx为了解此方程，作如下代换，令)()(rfrrx，由于)(121)(rfrrfrx23)(41)()(rrfrrfrfrx可将原方程化为0411223272rrdfrffr即04112242rrdfrff为了化简方程，再作变换，令12ir注意到22212ddfiriddfdrdddfdrdfdrdddfidfdidrdddfidddrfd222222222232222222iddfidfd方程可以化为04111222ddfdfd这是21阶的贝塞尔方程，它的解是riHrf12)()1(21式中)1(H表示第一类汉克尔函数，按定义为)()(sin)()1(ppippJJepiH当1时，)1(2)(pJppP当0,r时2122322sin)(21212121)1(21iiHr当而21212123,21rxiHrrfrx2)()1(21当r很大时，41241222rx常数rcCrrrxR21412412212)(常数常数另一方面rkrrkrCkrkrCR)sin()0cos()0sin(021常数当1kr时rCCR21常数其中412241212,2CC01202kkCCtg散射截面222208424kkQ上述解的条件是,1kr即112ri亦即要求kr124．用玻恩近似法求粒子在势能220)(reUrU场中散射时的散射截面。[解]按玻恩近似法计算微分散射截面的公式2)()(fq而0222sin2)(drkrerKfr[见教材（55-23）式]其中2sin4222kK，为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。在本题中220)(reUrU02022sin2)(drKrerKUfr020)(2222dreerKUiiKrriKrr00242024202222222222drreeKUidrreeKUiiKrKiKrK注意到000222222222222222dreiKdreiKrdrreiKriKriKr03224212222iKiKdxxex又0002222222222222222dreiKdreiKrdrreiKriKriKr32421iK22224320342022)(KKeUiKeKUif而2sin4222KK2226420224)()(KeUfq5．利用玻恩近似法求粒子在势能20sZer,raU(r)rb,ra场中散射的微分散射截面，式中22sabZe[解]由势能)(rU的形状容易看出，计算)(f时只需计算由a0的积分即可。adrbrrzeKrrKf022sin2)(aaKrdrrbKKrdrzeK002222sin2sin2aKadrarKrbKaKrKKze022222cos0cos20cos1aKrdrkKakaKaabKkaKze0222222sin2sin2cos2)1(cos)cos1(2sin2cos2)cos1(2222222KaKKaKaKaabKKaKze2)()(fq2222442)cos1(2sin2cos1)cos1(4KaKKaKaKaabKazeK其中2sin2kK6．用玻恩近似法求在势能00raU(r)Ue(a)场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。[解]（1）求微分散射截面002sin2)(dreUkrrkfar020)(22dreeeirkUarikrikr001120drredrreikUraikraik22201111ikaikaikU22222202)1()1()1(kaikaikaikUa222203)1(4kaUa422246202422462022)2sin41(16)1(16)()(kaaUkaaUfq（2）讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是1)(2u。由教材（55-25）式和（55-26）式drerVkdrerVkuikrikr02202)1)(()1)((21)0(22220412kakakU1)1()0(20204222dreeUkuikrar即22420242224422024141414kaUakakakU4244202244aaUk或22222022822aaUkE这就是玻恩近似法的适用条件。6．用玻恩近似法求在势能00raU(r)Ue(a)场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。[解]（1）求微分散射截面