量子力学周世勋第二版课后习题解答第3章

第三章力学量的算符表示3.1一维谐振子处在基态tixex2222)(，求：(1)势能的平均值2221xU；(2)动能的平均值22pT；(3)动量的几率分布函数。解：(1)dxexxUx222222212122222241212121221410122)12(5312aandxexnnaxn(2)dxxpxpT)(ˆ)(2122*2dxedxdexx22222122221)(21dxexx22)1(22222][222222222dxexdxexx]2[2322244222222241或414121UET(3)dxxxpcp)()()(*212221dxeePxixdxeePxix222121dxepipx2222222)(2121dxeeipxp222222)(212212212222pe22221pe动量几率分布函数为2221)()(2pepcp#3.2.氢原子处在基态0/301),,(arear，求：(1)r的平均值；(2)势能re2的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)drddrreadrrrarsin1),,(02200/230200/233004draraar01!naxnandxex04030232!34aaa02203020/23020200/230202002/230222144sinsin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为02022sin)],,([)(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadrrd令0321,,00)(arrrdrrd，当0)(,021rrr时，为几率最小位置0/222003022)482(4)(areraraadrrd08)(230220eadrrdar∴0ar是最可几半径。(4)2222ˆ21ˆpT02002/2/302sin)(1200ddrdreeaTarar02002/22/302sin)]([11200ddrdredrdrdrdreaarar22222sin1)(sinsin1)(1rrrr0/020302)2(1(240drearraaar20220204022)442(24aaaa(5)drrpcp),,()()(*200cos02/302/3sin1)2(1)(0ddedrreapcpriar0cos0/2302/3)cos()2(20dedrerapriar00cos/2302/30)2(2priareiprdrera0/302/3)()2(20dreereipapripriar01!naxnandxex])1(1)1(1[)2(22020302/3piapiaipa222200330)1(421paaipipa222204400330)(24paaaa222202/30)()2(paa动量几率分布函数422025302)(8)()(paapcp#3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是0eerJJ2sinmnermeJ证：电子的电流密度为)(2**mnmnmnmneieJeJ在球极坐标中为sin11reerrer式中eeer、、为单位矢量])sin11()sin11([2**mnrmnmnrmnereerrereerreieJeJ)]sin1sin1()11()([2******mnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnrrrerrerreiemn中的r和部分是实数。∴eimimrieJmnmne)(sin222ermemn2sin可见，0eerJJ2sinmnermeJ3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为)(2)(2CGScmeSImeMMz原子磁矩与角动量之比为)(2)(2CGSceSIeLMzz这个比值称为回转磁比率。解：(1)一圆周电流的磁矩为AdSJiAdMe（i为圆周电流，A为圆周所围面积）22)sin(sinrdSrmemndSrmemn2sindrdrmemn22sin)(rdrddS(2)氢原子的磁矩为0022sindrdrmedMMmn0022sin22drdrmemnddrdrmemn200022sin22me)(SI在CGS单位制中cmeM2原子磁矩与角动量之比为)(2SIeLMLMzzz)(2CGSceLMzz3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是ILH22，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有22ZLL哈米顿算符22222ˆ21ˆddILIHZ,其本征方程为(tH与ˆ无关，属定态问题))(2)()()(2222222IEddEddI令222IEm，则0)()(222mdd取其解为imAe)((m可正可负可为零)由波函数的单值性，应有imimee)2()()2(即12mie,∴m=0，±1，±2，…转子的定态能量为ImEm222(m=0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为immAe,A为归一化常数，由归一化条件2121220220*AAdAdmm∴转子的归一化波函数为imme21综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为2ˆ21ˆLIHtH与ˆ无关，属定态问题，其本征方程为),(),(ˆ212EYYLI(式中),(Y设为Hˆ的本征函数，E为其本征值)),(2),(ˆ2IEYYL令22IE，则有),(),(ˆ22YYL此即为角动量2ˆL的本征方程，其本征值为),2,1,0()1(222L其波函数为球谐函数immmmePNY)(cos),(∴转子的定态能量为2)1(2IE可见，能量是分立的，且是)12(重简并的。3.6设t=0时，粒子的状态为]cos[sin)(212kxkxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。解：]cos)2cos1([]cos[sin)(2121212kxkxAkxkxAx]cos2cos1[2kxkxA)]()(1[2212221ikxikxkxikxieeeeA21][2221212212210ikxikxkxikxixieeeeeA可见，动量np的可能值为kkkk220动能22np的可能值为2222022222222kkkk对应的几率n应为2)161616164(22222AAAAA2)8181818121(A上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得222)1644(1222AAAnn∴/1A∴动量p的平均值为02162162162216202222AkAkAkAkppnnnnnnppT22222812281202222kk8522k3.7一维运动粒子的状态是0,00,)(xxAxexx当当其中0，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由02222)(1dxexAdxxx2341A∴2/32Axxex22/32)()0(x0)(x)0(xdxxxedxxepcxikikx)(2)21()(21)()(2/32/1dxeikeikxxikxik)(0)(2/131[)22(22/1322/13)(1)22()()22(piikx动量几率分布函数为222233222232)(12)(12)()(pppcp(2)dxedxdxeidxxpxpxx)(4)(ˆ)(3*dxexxix23)1(4dxexxix223)(4)4141(4223i03.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数)(x的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为axxaxxanax,0,00,sin2)(22222anEn)321(，，，n动量的几率分布函数为2)(nCEandxxxandxxxC0*)(sin)()(先把)(x归一化，由归一化条件，aadxxaxaxAdxxaxAdxx022220222)2()()(1adxxaxxaA043222)2(30)523(525552aAaaaA∴530aA∴andxxaxxanaaC05)(sin302]sinsin[1520203xxdanxxxdanxaaaaaxannaxanxnaxanxnaxannaxanxnaa0333222222323]cos2sin2cossincos[152