量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章

5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0rr的区域有影响，对0rr的区域无影响。据题意知)()(ˆ0rUrUH其中)(0rU是不考虑这种效应的势能分布，即rzerU024）（)(rU为考虑这种效应后的势能分布，在0rr区域，rZerU024)(在0rr区域，)(rU可由下式得出，rEdrerU)()(4)(,4344102003003303420rrrZerrrrZerrZerE00)(rrrEdreEdrerU002023002144rrrdrrZerdrrZe)3(84)(822030020022203002rrrZerZerrrZe)(0rr)(0)(4)3(8)()(ˆ000222030020rrrrrZerrrZerUrUH由于0r很小，所以)(2ˆˆ022)0(rUHH，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态raZeaZ02/1303)0(1)(）dHE)0(1*)0(1)1(1ˆ000220222030023034]4)3(8[rraZdrrerZerrrZeaZ∴0ar，故102raZe。∴00030024042203030024)1(1)3(2rrrdraeZdrrrrraeZE2030024505030300242)5(2raeZrrraeZ203002410raeZ20302452raeZs5.2转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为cosˆ212ˆˆ22DLIDILH取cosˆ,ˆ21ˆ2)0(DHLIH，则HHHˆˆˆ)0(由于电场较小，又把Hˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。)0(ˆH的本征值为2(()))1(21IE本征函数为),()0(mY)0(ˆH的基态能量为000）（E，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知)0()0(020)2(0HEEEddYDYdHHmsin)cos(ˆ00*)0(0)0*(0ddYYDmsin)(cos00*ddYYDmsin413410*ddYYDsin310*013DIDIDEEE22221222')0()0(020')2(031)1(32H其中deireeadFFarrpikmmk0/302/3*)2(1)21(ˆ取电子电离后的动量方向为Z方向，取、p所在平面为xoz面，则有zyxrzyx)cos)(cos()cossin)(sin(rrcoscoscossinsinrrOθαxyrz（p）derreieaFarrpimk0/cos302/3)coscoscossinsin(21)21(00202/cos302/3sin)coscoscossinsin(21)21(0ddrdrerreieaFarrpimk5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE及，现在受到微扰Hˆ的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nnnHE)1(mmnmnnEEHE)0()0(2')2(得bHEbHE22)1(0211)1(010201200121')2(01EEaEEHEmmm0102200221')2(02EEaEEHEmmm∴能量的二级修正值为02012011EEabEE01022022EEabEE5.4设在0t时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为tsin，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为241minmin2seEEhvhevs24min234191062.6106.16.13Hz15103.3②0t时，氢原子处于基态，其波函数为0/301arkea在t时刻，rpime2/3)21(微扰)(2sin)(ˆtitieeiretretH)(ˆtitieeF其中ireF2ˆ在t时刻跃迁到电离态的几率为2)(taWmmkttimkmtdeHitamk01)(ttitimktdeeiFmkmk0)()()(]11[)()(mktimktimkmkmkeeF对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，mktimkmmkeFta1)()(2)()(222)()1)(1()(mktitimkmmkmkmkeeFtaW222122)()(sin4mkmkmktF其中deireeadFFarrpikmmk0/302/3*)2(1)21(ˆ取电子电离后的动量方向为Z方向，取、p所在平面为xoz面，则有zyxrzyx)cos)(cos()cossin)(sin(rrcoscoscossinsinrrderreieaFarrpimk0/cos302/3)coscoscossinsin(21)21(00202/cos302/3sin)coscoscossinsin(21)21(0ddrdrerreieaFarrpimk0020/3cos302/3)sincoscos(21)21(0ddrdereieaarrpi0cos0/3302/3sincos[22cos1)21(0dedreriearpiar0222/330)]()([22cos0dreerpeeipreraierpirpirpirpiarOθαxyrz（p）32220030)1(11622cospaiapaie322202/70)(8)(cos16paape∴222122)()(sin4mkmkmkmktFW22126222025702222)()(sin)(cos128mkmktpaaep0020/3cos302/3)sincoscos(21)21(0ddrdereieaarrpi0cos0/3302/3sincos[22cos1)21(0dedreriearpiar0222/330)]()([22cos0dreerpeeipreraierpirpirpirpiar32220030)1(11622cospaiapaie322202/70)(8)(cos16paape∴222122)()(sin4mkmkmkmktFW22126222025702222)()(sin)(cos128mkmktpaaep5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即)(0,0,0/0为大于零的参数当当tett求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。解：对于2p态，1，m可取1,0三值，其相应的状态为121211210氢原子处在2p态的几率也就是从100跃迁到121211210、、的几率之和。由ttimkmtdeHitamk01)(dHH100*210100,210ˆ)cos)(ˆ(rteHdYRrteYR0010*1021cos)((取方向为Z轴方向)20000*10010321sincos)(ddYYdrRrRte)31(cos1000YYfteddYYfte)(31sin31)(20010*1000310*21681256)()(adrrrRrRf02342/3002/300)1(32)21(dreraaara0505540681256324161aaa！ftedHH)(31ˆ100*210100,21000)(24321286812563)(ateate0100*211100,211cos)(drteH20000*11010321sincos)(ddYYdrRrRte20010*11010321sin31)(ddYYdrRrRte=0dHH100*121100,121ˆ02000*11010321sincos)(ddYYdrRrRte02010*11010321sin31)(ddYYdrRrRte=0由上述结果可知，0211100W，0121100W∴12110021110021010021ttitdeHW20/2002221)()243128(2tttitdeeea22212202022211)243128(221ttieae当t时，222120202222111)243128(2aeps其中02343412218383)411(2)(1aeeeEEsss5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。解：233234mkmksmkrceA由选择定则1，知ss12是禁戒的故只需计算sp12的几率1221EE343483)411(2ssee而221221221221zyxr2p有三个状态，即121211210,,(1)先计算z的矩阵元cosrzdYdrrrRrRzmm00*10310*21100,21cos)()()(dYYfm00*131031mffz31)(100,2100)(100,211z0)(100,121z(2)计算x的矩阵元)(sin2cossiniieerrxdYeeYdrrrRrRxiimm00*10310*21100,21)(sin)()(21)(dYYfm)Y(32211111*1)(6111mmfieYsin8311