量子力学基础(PPT)

第八章量子力学基础TheBasisofQuantumMechanics引言Introduction从经典力学到量子力学经典力学:以牛顿三大定律为中心内容适用于宏观物体的机械运动质量比一般分子或原子大得多的物体在速度比光速小得多的情况下服从经典力学的定律.量子力学:描述微观粒子运动规律的科学适用于微观粒子的运动如果某一物理量的变化是不连续的,而是以某一最小单位作跳跃式增减,我们就说这一物理量是“量子化”的.波粒二象性是说微观粒子即有微粒的性质，又有波动的性质，是微粒和波动性的矛盾统一体。量子力学的实验基础当将经典力学运用来解释与原子、分子有关的实验事实时，有三类实验无法得到圆满的结论，这些实验是：黑体辐射光电效应原子光谱1黑体辐射(Black-bodyRediation)作简谐运动的微粒就叫作谐振子（HarmonicOscillator)Rayleigh-Jeans方程832dckTd（9－10）184dkTd（9－11）频率与波长的关系：dcdc2,＝•λ很大时和实验测得的曲线相符，但在λ很小时，却和实验曲线不符•根据（9－11）式，当λ→0时，ρν→∞，•而实验结果却是ρν→0•紫外灾难•维恩（WienW)公式83/3deckdT该公式仅在／T≥1011秒－1·K－1时适用光照在电极上时，使金属中的电子获得能量脱出金属，因而发生电流。这样发射的电子称为光电子在A、C二极施加一负向电位差，更可促进光电子奔向C极，使电流强度增大。若施以正向电位差时，光电子奔向C极的趋势就被阻挠了，G中电流强度就会减弱。2.光电效应(thePhotoelectriceffect)用固定强度和频率的光照射所得光电流和两极间电压的实验曲线•爱因斯坦在1905年提出了光子学说，他认为光子的能量E与频率ν成正比，即E＝h•质能联系定律E=mc2，则mc2＝h•动量p应为：p=mc=h/c=h/光的强度，是光子数量多少的反映，只能影响击出电子的数目，而不能改变电子的动能。利用光子学说，可以解释光电效应2221111nnRH＝＝式中：恚1／耄恚c为波数，是在波的传播方向上单位长度内波的数目；RH－里德堡常数。n1、n2皆为正整数，且n2＞n1。n1=1，黎曼（赖曼Lyman）线系；n1=2，巴尔末（Balmer）线系；n1=3，巴新（Paschen）线系。3.氢原子光谱(AtomicSpectra)4.电子衍射(TheDiffractionofElectron)德布罗意在1923年提出了一个非常大胆的假设：波动性与粒子性的二重性不只限于光的现象，微粒物质都有二重性。hpchmc或公式的左方是与粒子性相联系的动量p，右方包括与波性相联系的波长，h为普朗克常数。对于微粒，动量p=m,则mhhm微观粒子运动的基本特征1.波粒二象性微观粒子既具有粒子性，又具有波动性。作为粒子性，粒子有动量p及能量Emp22020mcmE＝作为波动性，有波长和频率，波的强度用波函数度量。具有一定波长和频率的波称为简谐波。沿x轴传播的平面简谐波函数为：2cos),(0txtx式中：t为时间；0为振幅；。1i•对于光子，hE＝2cos),(0hEtxtx则2cos),(0Ethxhitx或2cos),(0Etxphitxhpx代入，以动量2cos),(0Etprhitr，对于三维空间的简谐波波的叠加原理：两个或多个波同时通过时，在空间某区域状态可用几个波函数之和来描述当波程差为波长的整数倍时，相互得到加强；而波程差为波长的半整数倍时，相互抵消。驻波：由振幅相同但方向相反的两个平面波叠加而产生，与行波（向前传播着的波）相对。振幅最大的地方叫做波腹那些不振动的点叫做节点驻波的形成2.二象性的统计性虽然物质波的实质迄今为止沿有争论，但科学界大多认为它是一种几率波。波恩从统计力学的观点出发，对德布罗意波获得了如下解释：实物微粒的运动并不服从宏观世界的牛顿定律，而是服从量子力学的统计规律。按照测不准原理，对于运动着的这些微粒，不可能确定它们某时刻在空间准确位置。但也不是杂乱无章毫无规律的运动3.不确定原理(测不准原理)在经典力学中,我们用粒子的坐标和速度来描述它的状态.也可用坐标与动量来描述;微观粒子则根本不具备同时准确决定位置和动量的性质sin2/,1111211xFGxxExHxFGFGExFxFxEG处合效应为零。抵消使得在处相互这两个点发出的波在则若4htE不确定原理的另一表达式：不确定原理说明：微观的动量与坐标不能同时准确确定，能量与时间也不能同时准确确定。值得注意的是测不准关系式也同样适用于宏观粒子，只不过这时的不准确量和动量都不起任何实际作用。如P21例题所示。研究微观粒子的运动需要一个崭新的理论，即量子力学。8.1量子力学的基本假设ThePostulatesofQuantumMechanics1.算符Operator等中的；中的；中的例如：2222222xx（1）运算规则)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆxfBAxfBAxfBxfAxfBAxfBxfAxfBA＝乘法：－－减法：加法：（2）对易子ABBABAˆˆˆˆˆˆ－＝，为可对易的一对算符和，则称＝－＝，若对易子为零，即BAABBABAˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ所谓算符,就是数学上的一些运算符号（3）线性算符（4）算符的本征方程、本征函数和本征值（5）厄米算符（自厄算符）厄米算符要具备两个特征：线性且自厄厄米算符的重要性质:a.厄米算符的本征值是实数这一点很重要，因为薛定谔方程中的本征值就是能量E，角动量方程中的本征值就是角动量的平方M2，显然这类本征值均为实验可测的物理量，当然只能是实数而不应是虚数。而厄米算符正符合这一要求。b.厄米算符的不同本征函数具有正交性。2.量子力学的四个基本假定(1)微观粒子系统的状态可用波函数来描述。波函数具有以下特点：a.波函数是坐标和时间的函数Ψ(q,t)。b.Ψ具有单值、有限和连续可微的性质。即是一个品优函数。c.Ψ与共轭复数Ψ*的乘积ΨΨ*（或模的平方）代表粒子出现的概率密度。ddP2＝＊（2）微观粒子系统的每个可观察的力学量F，都对应着一个厄米算符。),,(2ˆ22zyxVmhH哈密顿算符总能量所对应的算符为称拉普拉斯算符＝其中：2222222zyx补充假定：哈密顿算符的本征函数是波函数与时间无关的能量算符即哈密顿算符，相应的本征方程EHˆ（3）当在一定状态下测量某力学量F时，可能有不同数值，其统计平均值ddFF＊＊＝ˆddHEdEdHEH＊＊＊＊＊＝则：，得：两边各以将式ˆˆˆE就是某时刻t微观粒子系统能量的统计平均值（4）微观粒子系统的运动方程由薛定谔方程描述tihH＝－ˆ8.2势箱中粒子的薛定谔方程求解TheSchrodingerEEquationofParticals与时间无关的薛定谔方程(E不随t变化EtihHˆhiEtAe/积分可得EHqtqqeqAetqAqAhiEthiEtˆ.)(.),(,,)()(),()(,,,://则数被称为不含时间的波函为一驻波即振幅不随时间变化不随时间变化由于式中则令相当于振幅因其与时间无关为积分常数式中EzyxVmh),,(222EzyxzyxVmhNNNNiNii),,,,,,(211122个微粒如果系统中含.,,,21321均为实数各及相应的本征值征函数由上式可解得一系列本iEEE10**djidiijii按归一化条件有具有正交性各如果系统中只含一个微粒iiiccc仍是系统可能的状态可能的状态代表微观粒子系统各种221121,,简并度:具有相同本征值的不同的本征函数的个数.例如:若有三个波函数1,2,3具有相同的本征值Ei,则Ei,的简并度为３态的叠加1.一维势箱中的粒子一维平动粒子的薛定谔方程0202),,(22222222hmExExmhzyxVmhtt1)3(1)(,)2(0)(,0)1(2exp2exp*dxlxxxxmEhiBxmEhiAtt件：方程应满足以下三个条＝方程的解为：xmEhCxmEhAiiACyieexmEhixmEhiAttiyiytt21sin21sin2,2,sin22exp2exp＝＝令－＝nlmEhlmEhClmEhClttt＝，不为零，则式中＝代入，则将条件21021sin021sin)()2(020222211)(,3,2,12EnEnEnnmlhnEnt时称激发态，相应能量称基态能或零点能；时称基态，相应能量平动量子数在条件(1)情况下，可得A＋B＝0，则代入＝＝将lnmEhnlmEhtt2121lxnCxmEhCtsin21sinlClCdxlxnCddlii212sin120222*＝按归一化条件则一维势箱中的波函数3,2,1sin2sinnlxnllxnC＝按归一化条件(3)2.三维势箱中平动粒子三维粒子的薛定谔方程假定粒子在边长为a,b,c的三维势箱中的势能为零,在边界处及边界外所有地方势能无穷大。则粒子的薛定谔方程为：02222222hmEzyxt,,,,321321：的函数。代入上式，得分别只是其中及＝zyxEEEEzyx02321232212223121232hmEzyxt假设：02111232322222121zyxEEEhmzyx021021021232322222121hmEzhmEyhmExzyx则三维势箱中粒子的平动能级和平动波函数:以上方程求解可得222222222cnbnanmhEEEEzyxzyxt222321sinsinsinabc8cznbynaxnxxx＝222222222cnbnanmhEEEEzyxzyxt由上式可看出：当a,b,c增大时，基态能量E0下降；当a,b,c均趋于无穷时，粒子的能级间隔趋于零，此时粒子的能量变为可连续变化的量。所以粒子能量的量子化是因为粒子受到束缚而引起的。在原子各分子中运动的电子受到原子核和其它电子所产生的力场的束缚，所以这粒子或电子的能量都是量子化的。另外，粒子的能量随势箱的变大而降低的结论也有重要意义。在一定条件下，微粒较狭窄的活动范围过渡到较宽广的活动范围，从而产生能量降低的效应称这为离域效应。2222222zyxtnnnmahE2220231mahEnnntzyx时对应零点能：当简并能级和简并态当比零点能稍高一点的一个能量应怎样？2243)2,1,1()1,2,1()1,1,2(),,(mahEEEnnnEtttzyxt当体系的两个以上波函数具有相同能级时，这样的能级就称为简并能级，它所对应的波函数（状态）称为简并态；而相应于同一能量值的波函数的数目就称为简并度。在上例中简并度为38.3一维谐振子The