量子力学的态和表象02

第五章态和力学量表象§0引言§1态的表象§2算符的矩阵表示§3量子力学公式的矩阵表述§4Dirac符号§5Hellmann–Feynman定理§6占有数表象§7么正变换矩阵波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。设算符Q的本征值为：Q1,Q2,...,Qn,...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：dxtxxutaxutatxnnnnn).()(*)()()(),(若Ψ,un都是归一化的，则an(t)也是归一化的。|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得Qn的几率。a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量Q表象。力学量表象)()()(21tatatan共轭矩阵*)(*)(*)(21tatatan量子力学表象坐标系不同表象波函数不同坐标系的一组分量u1(x),u2(x),...,un(x),...i,j,k,a1(t),a2(t),...,an(t),...Ax,Ay,Az量子状态Ψ(x,t)→矢量A态矢量基本矢量同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。波函数)()()(21tatatan是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量Q表象，相当于选取特定的坐标系，u1(x),u2(x),...,un(x),...是Q表象的基本矢量简称基矢。坐标表象：),(),(ˆ),()ˆ,(ˆ),(txixFtxpxFtxxQ表象：假设只有分立本征值，将Φ,Ψ按{un(x)}展开：)()(),()()(),(xutbtxxutatxmmmmmm)()(taFtbmnmmndxxuixFxuFmxnnm)(),(ˆ)(*Q表象的表达方式代入力学量算符的矩阵表示（1）力学量算符用厄密矩阵表示dxxuFxuFmnnm)(ˆ)(**]*))(ˆ)(([dxxuFxumn*])(ˆ)(*[dxxuFxunm*mnF*~nmFnmF)(所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵。Q表象中力学量算符F的性质（2）力学量算符在自身表象中的形式)()(ˆxuQxuQnnnQ的矩阵形式nmmmnmmnnmQdxxuxuQdxxuQxuQ)()(*)(ˆ)(*结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。nQQQQ0000021求坐标表象中F的矩阵元xdxxixFxxFxxx)(),(ˆ)(求动量表象中F的矩阵元dxxixFxFpxppp)(),()(*要计算此积分，需要知道F的具体形式.pFˆˆ.1)()(ppip)(),(ˆxxixFxdxxpxppppp)(ˆ)(*dxxxppp)()(*)(pppdxxxippp)()(*)(dxxeipipxp)()(21/dxxxepipx)(][21/dxxxxxpppp)()(*xFˆ.2坐标表象平均值公式dxtxFtxF),(ˆ),(*在Q表象中)(*)(*),(*)()(),(xutatxxutatxnnnnnn)()()()(*,),(*),(*2121222211121121tatataFFFFFFFFFtatataFnmnmmnnm简写成FF*（一）平均值公式)()(ˆxxF写成矩阵形式F表成显式nnnnnnnnaaaaaaFFFFFFFFF2121212222111211整理改写021212222111211nnnnnnnaaaFFFFFFFFF上式是一个齐次线性方程组,2,10)(maFnmnmnn方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零0212222111211nnnnnnFFFFFFFFF久期方程求解此久期方程得到一组λ值：λ1,λ2,...,λn,....就是F的本征值。将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi的本征矢niaaaniii,,2,121于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。（二）本征方程),(ˆ),(txHtxti写到Q表象dxxuHxuHnmmn)(ˆ)(*)()()()()()(2121222211121121tatataHHHHHHHHHtatatatinmnmmnnnHtiΨH都是矩阵简写（三）Schrodinger方程的矩阵形式量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。Dirac符号右矢空间在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量|与量子状态相对应，该矢量称为右矢。|nψn(x)；|n,l,mψnlm状态|n和ψn(x)亦可分别记成|ψn和|ψnlm。对力学量的本征态可表示为|x,|p,|Qn...等。右矢空间的任一矢量|ψ可按该空间的某一完备基矢展开。例如：nann||态矢量左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为|。例如：左矢空间右矢空间n||nn,l,m||n,l,mx'||x'A||Al,m||l,mp'||p'Q_n||Q_n左矢，braket,右矢Dirac符号右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，ψ|和|ψ称为伴矢量。p’|,x’|,Qn|组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。|ψ按Q的左基矢|Qn展开|ψ=a1|Q1+a2|Q2+...+an|Qn+...展开系数即相当于Q表象中的表示：naaa21ψ|按Q的左基矢Qn|展开：ψ|=a*1Q1|+a*2Q2|+...+a*nQn|+...展开系数即相当于Q表象中的表示：ψ+=(a*1,a*2,...,a*n,...)1|*nnnaa这就是用Dirac表示的波函数归一化条件。由标积定义得:本征函数的封闭性1||nnnQQ成立。本征矢|Qn的封闭性投影算符|QnQn|或|qq|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ上，相当于把|ψ投影到左基矢|Qn或|q上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Qn上的分量Qn|ψ或q|ψ。故称|QnQn|和|qq|为投影算符。||nnnQQ右矢空间),()ˆ,(ˆ),(txpxFtx在抽象的Dirac表象|ˆ|FDirac符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至Q表象，则只需在适当位置插入单位算符。||ˆ|nnmnQQFQ把公式变到Q表象算符F在Q表象中的矩阵表示的矩阵元Fmn写成矩阵形式||||ˆ|,|ˆ|,|ˆ|,|ˆ|,|ˆ||||2112212211121nnnQQQQFQQFQQFQQFQQFQQQQψ=FφQ表象X表象算符平均值公式|ˆ|FF||ˆ||nnmmmnQQFQQFnmnmmnaFa*（1）X表象描述与Dirac符号1)(|)(|1),(),()()(ˆ),(ˆ)(|),(**ttQQdxtxtxdxxuxuFirFttxmnnmmnnm本征函数归一化算符波函数Dirac符号项目X表象1||1||)()()()()()()(|)()()(***qdqqQQxxdqxuxuxxxuxuqqqqqqdxxuxunnqqnnnqq封闭性本征函数归一性正交|ˆ|ˆ||ˆ)()()ˆ,(ˆ)(|ˆ)(|),()ˆ,(ˆ),(*FFdxFFFrrprFtFttxpxFtxx平均值本征方程公式)(|ˆ)(|),(),(ˆ),(|ˆ|ˆ*tHtdtditrirHtrtiSnFmFdxFFmnnmmn方程矩阵元总结设体系的Hamilton量H中含有某参量λ，En是H的本征值，ψn是归一的束缚态本征函数（n为一组量子数），则nnnHEˆH-F定理很有实用价值，H中的μ,等都可以选为参数λ。H-F定理（1）证明一维谐振子V=p2/2μ。证一维谐振子Hamilton量：,2,1,0)(2ˆ212221222nnExdxdHn方法I：取μ作为参数λ0nE222122222ˆxdxdH])2([12221222xdxd)](2[12xVp由HF定理nnnHEˆnnxVp)(2102nnnnpxV2)(22)(2pxV简记为（三）实例方法II令λ=ω)(21nEn2ˆxH][22221x)(2xVnnnHEˆ)(2)(21xVnnEnV212121)(VpHEn2ˆ2VpV22222pV方法III取λ=)(21nEn]2[ˆ2221222xdxdH22dxd]2[2]2[22222pdxd由HF定理nnnHEˆ22)(221pnnEnp2121212)(2]2[221Vp22pV由HF定理（2）对类氢离子任何一个束缚态ψnlm，求1/r,解1）求1/r2202022224222222ˆeanaeZneZEYruYRrZepHnlmnllmnlnlm其中取Z为变分参数202224naZenZeZEn由HF定理