量子力学知识点总结

二、光电效应，爱因斯坦光子理论1、光子的能量：hp2、光子的动量：AhmVm2213、爱因斯坦光电效应方程波粒二象性小结(Summaryandrevision)谐振子能量为：nhEn3.2.1n一、普朗克量子假设：爱因斯坦认为：光不仅在发射和吸收时具有粒子性，在空间传播时也具有粒子性，即一束光是一粒粒以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。h4、光电效应的红限频率hA0光的粒子性：用光子的质量、能量和动量描述，hhp三、光的波粒二象性光既具有波动性，也具有粒子性。二者通过普朗克常数相联系。光的波动性：用光波的波长和频率描述，四、粒子的波动性德布罗意假设：实物粒子的波长与粒子相联系的波称为概率波,或德布罗意波mvhph5、康普顿效应五、概率波与概率幅六、不确定关系2/xpx2/tE位置动量不确定关系：能量时间不确定关系：德布罗意波是概率波,本身无物理意义，但波函数模的平方代表时刻t，在空间点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。因此波函数y又叫概率幅。trtrtr,,,*2r薛定谔方程小结（Summaryandrevision)定义:能量算符,动量算符和坐标算符xxxiptiExˆˆˆ哈密顿算符UmH222ˆ定态薛定谔方程（一维）条件：U=U(x,y,z)不随时间变化。总波函数：Etiezyxtzyx),,(),,,(ytiUm222一般薛定谔方程（三维）波函数的归一化和标准条件：单值、有限，连续tΨiΨxUxΨm)(22221、薛定谔得出的波动方程2.一维无限深势阱中的粒子能量量子化：,3,2,1,22222nnmaEn3.谐振子能量量子化:),2,1,0()21(nhnEn零点能:hE210在势阱内概率密度分布不均匀,随x改变,且与n有关。但经典粒子在各点出现的概率是相同的。德布罗意波波长量子化:类似经典的驻波。knan2/2原子中的电子小结Summaryandrevision1、能量量子化：氢原子能量取离散值,3,2,1,16.131)4(222002nnnaeEn式中玻尔半径nm0529.042200mea:氢原子可以发生能级间跃迁，同时发射或吸收光子，光子的频率符合玻尔频率条件eV116.1322mnEEhmn2、氢原子光谱波数：单位长度包含的完整波的数目里德伯常数：17320410097373.18mchemRe巴尔末公式：hcEEclh1~)11(~22mnR（1）主量子数，它大体上决定原子中电子的能量。,4,3,2,1n22204222041812)4(nhmenmeEn)1(llL3、四个量子数：描述原子中电子的量子态。1,,2,1,0nl（2）轨道量子数（角量子数）它决定电子绕核运动的角动量的大小，影响原子在外磁场中的能量。一般来说，处于同一主量子数n，而不同角量子数的状态中的电子，其能量也稍有不同。l（3）磁量子数lml,,2,1,0决定电子绕核运动的角动量在外磁场中的（2l+1）种空间指向。影响原子在外磁场中的能量。lZmL21sm（4）自旋磁量子数决定电子自旋角动量在外磁场中的两种指向，也影响原子在外磁场中的能量。4、泡利不相容原理不能有两个或两个以上的电子具有相同的四个量子数n,l,ml,ms.5、能量最小原理：原子处于正常状态时，其中电子都要占据最低能级。基态原子的电子排布由以下两个原理决定：1.在光电效应实验中，测得某金属的截止电压Uc和入射光频率的对应数据如下：6.5016.3036.0985.8885.6640.8780.8000.7140.6370.541]V[cUHz1410试用作图法求：(1)该金属光电效应的红限频率；(2)普朗克常量。图Uc和的关系曲线4.05.06.00.00.51.0Uc[V]1014Hz解：以频率为横轴,以截止电压Uc为纵轴，画出曲线如图所示(注意:)。0cU(1)曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率，由图上读出的红限频率[Hz]10274140.(2)由图求得直线的斜率为s][V1091351.KAhvmvm221对比上式与s][J1026634.eKh有s][J1063634.h精确值为0221eUeKveUmvcm图Uc和的关系曲线4.05.06.00.00.51.0Uc[V]1014Hz2.一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。(1)试由此求出粒子能量的本征值为：22222nmaπEn(2)在核(线度1.0×10-14m)内的质子和中子可以当成是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？解：在势阱中粒子德布罗意波长为,3,2,1,2nnaλ粒子的动量为：aπhnahnλhpnn222nnnma2mpE2222粒子的能量为：[J]10331001106712100512132142723422221....πamπEp(2)由上式，质子的基态能量为(n=1):第一激发态的能量为：[J]1021341312.EEn=1,2,3…从第一激发态转变到基态所放出的能量为：[MeV]26[J]1099[J]10331021313131312....EE讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。n=1n=2n=33.设粒子处于由下面波函数描述的状态：,,cos0axAx当2ax22axax,当A是正的常数。求粒子在x轴上分布的概率密度;粒子在何处出现的概率最大?解：首先把给定的波函数归一化做积分12dcosd222222aAxaxAxx/a/a得aA21d2xx因此，归一化的波函数为,,cos02axax当2ax22axax,当归一化之后，就代表概率密度了，即2x,,cos0222axaxxW当2ax22axax,当概率最大处:02sin2sincos22dd2axaaaxaxaxW即x=02ax讨论：波函数本身无物理意义,“测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。Eoa/2x-a/2E1n=14E1n=29E1n=3Enψn|ψn|2无限深方势阱内粒子的能级、波函数和概率密度4.氢原子的直径约10-10m，求原子中电子速度的不确定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少？结果说明什么问题？m/s106.010101.921005.126103134xmv解：由不确定关系2/xvmxp估计，有速度与其不确定度同数量级。可见，对原子内的电子，谈论其速度没有意义，描述其运动必须抛弃轨道概念，代之以电子云图象。按经典力学计算222rekrvmm/s10221050101910611096103121992...).(mrkev5.(1)用4个量子数描述原子中电子的量子态，这4个量子数各称做什么，它们取值范围怎样？(2)4个量子数取值的不同组合表示不同的量子态，当n=2时，包括几个量子态？(3)写出磷(P)的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。答：(1)4个量子数包括：主量子数n，n=1,2,3,…角量子数l，l=0,1,2,…,n-1轨道磁量子数ml，ml=0,1,…,l自旋磁量子数ms，ms=1/2(3)按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态内填充1个电子，得P的电子排布1s22s22p63s23p3，(2)n=2l=0(s)l=1(p)ml=0ml=-1ml=0ml=1ms=1/2ms=1/2ms=1/2ms=1/22n2=8个量子态01)0(01)(ll1s,2s,3s电子轨道角动量为2p,3p电子轨道角动量为21111)()(ll在z方向的投影可以为,0,lm6.固体物理经常取自由运动电子的能量为正值，被束缚于金属中的电子的能量为负值，而刚好逸出金属的静止电子的能量为零（该能级叫做真空能级）。在这种情况下，利用下列数据计算钠金属的费米能量和导带底能量。(1)用波长为300nm的单色光照射钠金属，发出光电子的最大初动能为1.84eV；(2)密度971kg/m3，摩尔质量23.0g/mol。EbEFA真空能级E0=0解单色光照射钠金属，发生光电效应，利用数据，可求出逸出功eV30.284.1106.1103001031063.621211998342m2mvvmhcmhA导带底eV30.230.200FAEE3/223/22bF2)3(nmEEeV43.51060.11023.09711002.614.331011.92)1005.1(30.232193/2232312343/2A22FbMNmEE金属中活跃的电子是费米能级附近的电子，逸出功就是电子从费米能级跃迁至真空能级所吸收的能量，因此费米能量为从图13-6可以看出，自由电子气模型能够很好地描述钠金属的能带结构，利用该模型，有所以导带底能量为