量子力学第五章-全同粒子

（一）全同粒子和全同性原理（二）波函数的对称性质（三）波函数对称性的不随时间变化（四）Fermi子和Bose子第五章全同粒子的特性（1）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。（2）经典粒子的可区分性经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。轨道速度位置可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。1212（一）全同粒子和全同性原理（3）微观粒子的不可区分性微观粒子运动服从量子力学用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的（4）基本假设5：全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相交换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。（1）Hamilton算符的对称性N个全同粒子组成的体系，其Hamilton量为：个粒子的坐标和自旋。为第其中isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji},{),(),(2),,,(ˆ22121调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。即：),,,(ˆ),,,(ˆ2121tqqqqqHtqqqqqHNjiNij表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（qi,qj)后不变。（二）波函数的对称性质（2）对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时Shrodinger方程),,,(),,,(ˆ),,,(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji将方程中（qi,qj)调换，得：),,,(),,,(ˆ),,,(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij由于Hamilton量对于（qi,qj)调换不变),,,(),,,(ˆ2121tqqqqqtqqqqqHNijNji表明：（qi,qj)调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。根据全同性原理：),,,(),,,(2121tqqqqqtqqqqqNijNji描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。),,,(),,,(2121tqqqqqtqqqqqNjiNij再做一次（qi,qj)调换),,,(),,,(),,,(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji112所以),,,(),,,(12121tqqqqqtqqqqqNijNji变，即二粒子互换后波函数不),,,(),,,(12121tqqqqqtqqqqqNijNji号，即二粒子互换后波函数变对称波函数反对称波函数引入粒子坐标交换算符),(),(ˆ),(ˆˆ),(ˆ),(),(),(ˆ22jijijijijiijjiijijijijij的本征态。本征值反对称波函数是的本征态；本征值对称波函数是，所以1ˆ1ˆ1ijij全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。证方法I：设全同粒子体系波函数s在t时刻是对称的，由体系哈密顿量是对称的，所以Hs在t时刻也是对称的。是对称的。中式右的方程是一样的，所以因为等式两边对称性应ssstHtiShrodingerˆ在t+dt时刻，波函数变化为dttss对称对称二对称波函数之和仍是对称的依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。同理可证：t时刻是反对称的波函数a，在t以后任何时刻都是反对称的。（三）波函数的交换对称性不随时间变化方法II：变。交换对称性不随时间改是守恒量，即ijijHˆ0ˆ,ˆ全同粒子体系哈密顿量是对称的结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。（1）Bose子自旋为整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如：光子（s=1）；介子（s=0）。（四）Fermi子和Bose子（2）Fermi子自旋为半奇数倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子如：粒子（氦核）或其他原子核。如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。子粒子）是（（氘核）和例如：BoseHeH242121偶数个Fermi子组成Bose子组成子是（氚核）和例如：FermiHeH132131奇数个Fermi子组成奇数个Fermi子组成（一）2个全同粒子波函数（二）N个全同粒子体系波函数（三）Pauli原理全同粒子体系波函数Pauli原理（1）对称和反对称波函数的构成I.2个全同粒子体系Hamilton量)(ˆ)(ˆ)()(22ˆ201021222212qHqHqVqVH)()()ˆ)()()ˆˆ222011100qqqHqqqHHiiiiii（（设其不显含时间，则对全同粒子是一样的，II.单粒子波函数（一）2个全同粒子体系波函数.)2,1(),(nqni称为单粒子波函数。III.交换简并粒子1在i态，粒子2在j态，则体系能量和波函数为：)()(),2121qqqqEjiji（验证：),),ˆ2121qqEqqH（（粒子2在i态，粒子1在j态，则体系能量和波函数为：)()(),1212qqqqEjiji（。故称该简并为交换简并互换得到，状态可通过两种能量是简并的，由于这（和（状态211221),),qqqqqq)()()](ˆ)(ˆ[),)](ˆ)(ˆ[212010212010qqqHqHqqqHqHji（)]()(ˆ)[()()]()(ˆ[22012110qqHqqqqHjiji)()()()(2121qqqqjijjii)()()(21qqjiji),21qqE（IV.满足对称条件波函数的构成全同粒子体系波函数要满足对称性条件，而(q1,q2)和(q2,q1)仅当i=j二态相同时，才是一个对称波函数；当ij二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以(q1,q2)和(q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数：)],),[),)],),[),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（（（（（（C为归一化系数显然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函数，本征值皆为：jiEV.S和A的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，则(q1,q2)和(q2,q1)也是正交归一化的。证：1)()()))())()),),222*111*21212*1*212121*dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji（（（（（（同理，1),),211212*dqdqqqqq（（0)()()))())()),),222*111*21211*2*212112*dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjiijjiji（（（（（（而同理，0),),211221*dqdqqqqq（（证毕首先证明21122112*21*221*)],),)][,),[1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（（（（考虑S和A归一化211212*1221*2112*2121*2)],),),),),),),),[dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（（（（（（（（212]1001[22CCC则归一化的S：)],),[21),122121qqqqqqS（（（同理，归一化的A：)],),[21),122121qqqqqqA（（（上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时，)()(),)()(),12122121qqqqqqqqjiji（（但是下式仍然成立),),),ˆ),),),ˆ121221212121qqEqqqqHqqEqqqqH（（（（（（)],),[21),122121qqqqqqAS（（（归一化的SA依旧因H的对称性（1）Shrodinger方程的解上述对2个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子H0不显含时间，则体系)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ0102010nNnNqHqHqHqHH)()()ˆ)()()ˆ)()()ˆ022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH（（（)()()(),,(ˆ2121NkjiNkjiqqqqqqEEHShrodinger其解为：方程：体系单粒子本征方程：（二）N个全同粒子体系波函数（2）Bose子体系和波函数对称化)]())()[21)],),[21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS（（（（（2个Bose子体系，其对称化波函数是：1，2粒子在i，j态中的排列N个Bose子体系，其对称化波函数可类推是：)]()()[),2121NkjipNSqqqpCqqq（（N个粒子在i，j…k态中的排列归一化系数对各种可能排列p求和!!1NnCkk归一化系数：nk是单粒子态k上的粒子数例:N=3Bose子体系,，设有三个单粒子态分别记为1、2、3，求：该体系对称化的波函数。)]()())()())()())()())()())()()[61),,233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS（（（（（（（I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0)()()),,312111321300qqqqqqS（（)()()),,322212321030qqqqqqS（（)()()),,332313321003qqqqqqS（（III。n1=2，n2=1，n3=0。)]()())()())()()[!3!0!1!2),,122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS（（（（另外还有5种可能的状态，分别是：n1=1，n2=0，n3=2)]()())()())()()[!3!2!0!1),,132331331321332311321102qqqqqqqqqqqqS（（（（n1=0，n2=1，n3=2)]()())()())()()[!3!2!1!0),,132332331322332312321012qqqqqqqqqqqqS（（（