2.1.2离散型随机变量的分布列

2.1.2离散型随机变量的分布列随机变量与离散型随机变量的含义分别是什么？随机变量：表示随机试验结果的数字变量.离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.在随机试验中，我们不能预知每次试验的结果，从而也就不能预知随机变量的取值，但我们可以通过计算随机变量各个取值的概率，来研究随机变量的变化规律.为此，我们将学习一个新的数学概念——随机变量的分布列.1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．（重点）2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．（重点）3.通过实例(如彩票抽奖)，理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.（难点）探究点1离散型随机变量分布列的概念抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数，那么随机变量X的值域是什么？X取各个不同值的概率为多少？X∈{1，2，3，4，5，6}，16P我们可以将随机变量X的可能取值，以及X取这些值的概率用下列表格表示：利用上表，随机事件{X＜3}，{X为偶数}的概率分别为多少？P654321X16解析：P（X＜3）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝13P(X为偶数)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝121616161616袋中有大小相同的1个红球，2个白球和3个黑球，从中任取一个球，用X表示所得球的颜色，如何将随机变量X数量化？解析：可设X＝1，2，3分别表示取出的球为红球，白球，黑球.随机变量X取1，2，3的概率分别为多少？用表格如何表示？321X161312P一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.函数有哪几种表示方法？解析：解析法，列表法，图象法.离散型随机变量X的分布列，反映了X的不同取值与它对应的概率之间的函数关系，既然函数有三种表示法，那么分布列也有三种表示法.对于前述取球问题的分布列，用解析法，图象法分别怎样表示？探究点2离散型随机变量分布列的表示及性质袋中有大小相同的1个红球，2个白球和3个黑球，从中任取一个球，用X表示所得球的颜色.解析法：(X)6iPi(i＝1，2，3)；图象法：XPO1231/31/61/2设离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则每个pi的取值范围是什么？所有pi之间有什么关系？（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.若姚明罚球命中的概率为0.95，则其罚球命中的分布列用列表法怎样表示？0.950.05P10X探究点3两点分布与超几何分布例1在掷一枚图钉的随机试验中,令1,X=0,尖向上;尖向下.针针如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列.解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)，于是，随机变量X的分布列是：X01P1-pp两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.两点分布又称0－1分布或伯努利分布，能否将分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝5)＝0.6变换为两点分布？0,X2YY.1,X5，令则服从两点分布，例2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.解：（1）因为从100件产品中任取3件的结果数为3100,C从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为,那么从100件产品中任取3件，其中恰好有k件次品的概率为35953100CC(),0,1,2,3.CkkPXkk3595CCkkX0123P035953100CCC125953100CCC215953100CCC305953100CCC因此随机变量X的分布列为（2）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.13806+0.00588+0.00006=0.14400.一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则超几何分布knkMNMnNCCP(Xk),k0,1,2,,m,C即X01…mP…0n0MNMnNCCC1n1MNMnNCCCmnmMNMnNCCC其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.例3在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）=≈0.191解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率353454555103010103010103010555303030CCCCCCCCC思考：若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.两点分布与超几何分布(1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布，它反映了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的奖券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0和1，否则就不是两点分布；(2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问题，对该类问题直接套用公式即可．但在解决相关问题时，首先判断随机变量X是否服从超几何分布．【提升总结】1.对于下列分布列有P(|ξ|＝2)＝_____.ξ－202Pa35c252.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是()D3．设离散型随机变量ξ的概率分布列为则下列各式中成立的是()A．P(ξ＝1.5)＝0B．P(ξ－1)＝1C．P(ξ3)＝1D．P(ξ0)＝0ξ－10123P110151101525A4.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．X01P3525解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.因此X的分布列为14110C42P（X=1）===，C10523P（X=0）=1-P(X=1)=1-=.55则(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为②Y的所有可能取值为0，10,20,50,60，且Y010205060P1325115215115【题后反思】解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．因此随机变量Y的分布列为1.离散型随机变量的分布列，反映了随机变量所有取值的概率，完全描述了由随机变量所刻画的随机现象.2.随机变量的分布列一般用列表法表示，在制作表格之前必须先计算随机变量各个取值的概率.如果n比较大时，可考虑用解析法表示.3.在实际解题中，分布列的两个性质是检查所求分布列是否正确的一个重要依据，利用分布列和概率的性质，可以计算能由随机变量表示的事件的概率.一般地，随机变量X在某个范围内取值的概率，等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布与超几何分布(1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布，它反映了随机试验的结果只有两种可能；(2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问题，对该类问题直接套用公式即可．一个人越知道时间的价值，越倍觉失时的痛苦！——但丁