生活中的数学――初探数学建模

LOGO生活中的数学——初探数学建模汕头市第一中学肖朝欣LOGO什么是数学建模当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模也称数学实验，是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。LOGO物理生物化学数学经济数学在各领域中的地位LOGO数学建模能用数学解决的问题数学理论的加工物理生化经济心理LOGO今天我们要说什么1如果你是警察或侦探，在到达案发现场时你能推测死者的死亡时间吗？2如果你知道某个国家近百年来人口的数量，你能猜测它未来十年后的人口数量吗？3生物世界复杂多变，一种生物的生存有许多因素在左右着它，能否用你的数学头脑，来理性分析呢？LOGO目录死亡时间推测问题1人口增长猜测问题2山猫数量随条件变化问题3利用Excel作简单图象的介绍4LOGO你能推算出案发时间吗？某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6时到达现场后测得尸温26℃，室温17℃，2小时后尸温下降了3℃，试根据冷却定律建立差分方程，估计凶杀案发生的时间.冷却定律为其中室温为C，人体常温即初始提问为T0，死亡后第t小时尸体温度为T，k为可求常数.0()ktTCTCeLOGO如何建模可设正常人体温为37℃假设案发之后没有外界环境对尸体温度产生客观影响建模过程使用冷却定律作理论依据来帮助计算列出相应适用的数学方程LOGO分析过程由公式根据题意，可将T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2代入上式，可求得常数故可建立差分方程：32ln2117261723ln21k0()ktTCTCektiieCTCT)(1LOGO分析过程ktiieCTCT)(1Ti表示经过第i小时尸体的温度，借助计算机的计算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸体温度状况：凌晨到早上6点尸温的变化t0123456T37.00033.33330.33327.88725.88924.25822.926LOGO描点作出温度与时间的关系图LOGO结果分析由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温接近26℃，而警方于6时测得尸温为26℃。而当受害者死亡接近6小时时测得尸温约为23℃也与题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为凌晨2点。t0123456T37.00033.33330.33327.88725.88924.25822.926LOGO你能当大预言家吗？建立人口增长模型，用表1的数据预报2010年美国的人口，并进行模型检验.下表是1790——1990年美国每隔十年的人口记录：表1美国人口统计数据(百万人)年份17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4年份18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年份195019601970198019902000人口(百万)150.7179.3204.0226.5251.4281.4LOGO建模过程数据处理拟合函数计算结果通过使用散点图，用点将数据在图象上描绘出来，观察变化可以借助计算机软件等手段找到满足接近图象散点的函数，将其表达式求出来利用拟合出来的函数计算相应的结果LOGO描绘散点图175018001850190019502000050100150200250300年份人数（百万人）美国人口统计数据散点图LOGO数据处理由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着时间而增加。为了找到增长率变化的数量规律，我们用前差公式定义美国人口数量在第k个十年的增长率，即kkkkxxxr1从表格中22个数据我们应该得到21个增长率rk(k=1,2,…21)，将它们也画成散点图.LOGO年增长率的散点图0501001502002503000.050.10.150.20.250.30.350.4人口数量（万人）增长率美国人口数量增长率与人口数量的关系图LOGO拟合一次函数的效果图05010015020025030000.050.10.150.20.250.30.350.4人口数量（百万人）增长率增长率与人口数量的一次函数拟合效果图数据点拟合一次函数LOGO实验数据和模拟值的对照年份实验数据模拟值年份实验数据模拟值17903.93.919007670.5718005.35.148919109287.98118107.26.79051920106.510818209.68.94341930123.2130.19183012.911.7571940131.7153.75184017.115.4211950150.7177.59185023.220.1631960179.3200.45186031.426.2581970204221.21187038.634.0191980226.5239.06188050.243.7831990251.4253.64189062.955.8782000281.4265.03LOGO人口增长的模拟效果图175018001850190019502000050100150200250300年份（年）人口数量（百万人）人口数量增长的模拟效果图实验观察值模型模拟值LOGO结果猜测由以上数据的模拟整合，我们可以预测2010年美国人口数量。2010与2000年相比，其增长率大概为0.12左右，而2000年的人口数量为281.4百万人，故可计算得2010年美国人口数量大概为305.2百万人。LOGO山猫们活得好吗？据报道，某种山猫在教好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%，0.55%和-4.50%，假定开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势：（1）3种自然环境下25年的变化过程；（2）如果每年捕获3只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？LOGO山猫数量的影响因素气候食物天敌繁殖人为捕捉可爱的山猫是什么在影响它们？LOGO问题一记第k（k=0,1,2…）年山猫的数量为xk，设自然环境下的年平均增长率为r，则列式得1(1)kkxrx01)1(xrxkkLOGO描绘三种条件下演变曲线LOGO问题一结果分析在较差的自然环境下，山猫的数量会越来越少，最后可能将濒于灭绝；在中等和较好的自然环境下，由于增长率大于0，即山猫数量呈几何级数无限增长，且在较好的自然环境下增长得快一些。LOGO问题二如果每年捕获山猫若干只，设自然环境下的年平均增长率为r，且每年捕获的数量为b，则列式得1(1)0,1,2kkxrxbk下面我们要分析的就是b=1和b=3两种情况.LOGO每年捕捉3只山猫后的演变图由图形可知：直线是向下递减弯曲的，这说明如果每年捕获3只山猫，那么不管在哪种自然环境下，山猫最终都将濒临灭种。而且在第20年时，在较差的自然环境下，山猫就灭种了。LOGO每年捕捉1只山猫后的演变图当每年捕获1只山猫时，由图形可知在较好的自然环境下，山猫将不断繁殖，处于无限的增长。在中等和较差的自然环境下，山猫都将逐年减少，并且在较差的环境下减少得更快一些，在第37年时濒临灭种。LOGO