杨辉三角与二项式定理

杨辉三角——一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一一、引入杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。二、杨辉简介:“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．……1ba112ba1213ba13314ba146415ba151010516ba1615201561nba0nc2nc1ncnncrnc1nnc………………三、教学过程探究１：杨辉三角之雾里看花2、对称性：表中的数字左右对称，即rnnrnCC3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，即rnrnrnCCC1111、与二项式定理的关系：表中的每个数都是二项式系数，第n行的第r+1个数是第n行各数的和为２nrnC尝试探索第0行1１、杨辉三角第n行各数的特点第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的二项式系数杨辉三角的各行数字的和等于与之对应的(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n。2、杨辉三角的基本性质和对称性2.基本性质：杨辉三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加.rnrnrnCCC111即1.对称性：杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.rnnrnCC即11121133114641151010511615201561性质3：增减性与最大值.,.二项式系数在对称轴的左边是逐渐增大的在对称轴右边是逐渐减小的且在中间取得最大值21122,;,,,.nnnnnnnCnCC当是偶数时中间的一项取得最大值当是奇数时中间的两项相等且同时取得最大值AC课堂练习:2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是().A.第6项B.第7项C.第6和第7项D.第5和第7项1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项在(a-b)10展开式中，系数最大的项又是什么？11121133114641151010511615201561性质4：各二项式系数的和也就是说,(a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n012......rnnnnnnCCCCC？2n01*(1)()nrrnnnnnnxCCxCxCxnN赋值法性质5：奇数项二项式系数与偶数项二项式系数的和024...nnnCCC135...nnnCCC2n-12n-1性质1:性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；nnnknnnnCCCCC2210性质4：性质5：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.mnmnnCC性质2:11mmmnnnCCC5234501234501234012345135220241351.(21)(1);(2)||||||||||||;(3);(4)()()xaaxaxaxaxaxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例设，求：,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设11)1(5543210aaaaaaf则243)3()1(-5543210aaaaaaf5234501234501234(21)(1);xaaxaxaxaxaxaaaaa设，求55015()(2-1),fxxaaxax解：设11)1(5543210aaaaaaf则243)3()1(-5543210aaaaaaf322)1(55a3132)1(43210faaaaa52345012345012345(21)(2)||||||||||||;xaaxaxaxaxaxaaaaaa设，求55015()(2-1),fxxaaxax解：设11)1(5543210aaaaaaf则243)3()1(-5543210aaaaaaf||||||||)2(5210aaaa543210aaaaaa243)1(f52345012345135(21)(3);xaaxaxaxaxaxaaa设，求,1)-(2x)(55105xaxaaxf解：设11)1(5543210aaaaaaf则243)3()1(-5543210aaaaaaf)(2)1()1()3(531aaaff1222244531aaa5234501234522024135(21)(4)()()xaaxaxaxaxaxaaaaaa设，求55015()(2-1),fxxaaxax解：设11)1(5543210aaaaaaf则243)3()1(-5543210aaaaaaf25312420)())(4(aaaaaa)()(53210543210aaaaaaaaaaaa243)1()1(ff练习.设二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．nxx)13(31083:2如上表，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为34练习1:3432131414)13)1(13)12()1(:1413nnnnnnnnCCnn！（！杨辉三角的应用练习2：4774122343511141156162525166则第n行（n≥2）第2个数是什么？分析:设第n行的第2个数为an,则a2=2,22nn2an+1-an=n∴an=2+2+3+…+(n-1)=想一想：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数都为1的是第一行，第二次全行的数都为1的是第3行，……第n次全行的数都为1的是第行第一行11第二行101第三行1111第四行10001第五行110011分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全１即本身全为奇数，因此，我们继续探究下表2n－1358第0行4101312679111214151）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第行的各个数字为奇数？2n-1除两端的1之外都是偶数.则第2n行的数字有什么特点？探究2、横行规律思考：1.求的展开式中的系数.64(1)(1)xx3x342(1)(1)...(1)nxxx2.在的展开式中，含项的系数是多少？2x四、总结2、杨辉三角蕴含的数字排列规律1、杨辉三角蕴含的基本性质3、利用杨辉三角进行简单的应用探究２：研究斜行规律：第一条斜线上：166C第二条斜线上：2615C第三条斜线上：3620C第四条斜线上：4615C猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=1+2+3+4+5=1+3+6+10=1+4+10=第m+1条斜线上的第n个数.1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）(nr)rnrrrrrrCCCC1211nC3nC1rnC1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）22222341nCCCC（第3条斜线）2nC（第2条斜线）)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr根据对称性11111231nCCCC结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。探究４1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．1.斐波那契“兔子繁殖问题”二.应用:1448955895534553421121110aaa２.选做题(课后探讨）在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？“概率三角形”12111824143838141218照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：第一层1第二层11第三层121第四层1331………第五层14641五、作业：１．Ｐ３７7、8AC课堂练习:2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是().A.第6项B.第7项C.第6和第7项D.第5和第7项1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？