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第1页（共40页）思维数学第一讲一．选择题（共24小题）1．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2．数列{an}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032B．5044C．5048D．50503．已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）4．某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（）A．B．第2页（共40页）C．D．5．函数的大致图象为（）A．B．C．D．6．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（）A．B．C．D．7．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）第3页（共40页）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数8．如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g（x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）A．B．C．D．9．如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．10．设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．D．ln3﹣111．已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）第4页（共40页）A．B．C．D．12．下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（）A．k1+k2=k3B．k1=k2=k3C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k313．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．814．函数f（x）的图象如图所示，已知函数F（x）满足F′（x）=f（x），则F（x）的函数图象可能是（）A．B．C．D．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（）第5页（共40页）A．（B．C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）16．已知函数y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．17．已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点18．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y=f（x）的部分图象，则f（x）可能是（）第6页（共40页）A．x2cosxB．xcosxC．xsinxD．x2sinx19．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）21．已知函数y=f（x）的图象如图，则函数在[0，π]上的大致图象为（）A．B．C．D．第7页（共40页）22．若函数的图象如图所示，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．23．已知函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x）﹣f（x﹣a）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．24．函数y=的大致图象如图所示，则（）A．a∈（﹣1，0）B．a∈（0，1）C．a∈（﹣∞，1）D．a∈（1，+∞）二．填空题（共12小题）25．已知函数f（x）满足f（x）=2f（），且f（x）≠0，当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是．26．设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．27．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=ax•g（x），．令，则使数列{an}的前n项和Sn超过的最小自然数n的值为．28．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．第8页（共40页）29．定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为．30．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是．31．设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．32．若函数f（x）=的图象关于点（3，0）对称，则实数a=．33．已知函数f（x）=2x﹣a，g（x）=xex，若对任意x1∈[0，1]存在x2∈[﹣1，1]，使f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为．34．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则b=．35．在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B=．36．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若+=2m，则m=．（用θ表示）三．解答题（共3小题）37．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．38．已知函数（1）试判断函数f（x）的单调性；第9页（共40页）（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）试证明：对∀n∈N*，不等式．39．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．第10页（共40页）2017年09月13日光头强的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，进而可得答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选A．第11页（共40页）【点评】本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．2．数列{an}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032B．5044C．5048D．5050【分析】a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1，①；a1a2+a2a3+…+anan+1+an+1an+2=（n+1）a1an+2，②；①﹣②，得﹣an+1an+2=na1an+1﹣（n+1）a1an+2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1，①a1a2+a2a3+…+anan+1+an+1an+2=（n+1）a1an+2，②①﹣②，得﹣an+1an+2=na1an+1﹣（n+1）a1an+2，∴，同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a1=，a2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B．【点评】本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．第12页（共40页）3．已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．【解答】解：根据题意，an=f（n）=；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．【点评】本题考查数列与函数的关系，{an}是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意{an}是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系．4．某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数θ=f（t）的图象大致为（）A．B．第13页（共40页）C．D．【分析】题干错误：θ=∠AOP（＞0），应该去掉括号．根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D．【点评】本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．5．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象．6．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）第14页（共40页）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那