2017高三球的内接与外接课件

球与多面体的内切、外接定义1：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.定义2：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。.ra解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.球的内接正（长）方体的对角线等于球直径。一、直接法ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO对角面223R设棱长为127变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.43例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.16202432C甲图乙图丙图例1甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3B.C.D.1:2:31:8:27331:4:9球的外切正方体的棱长等于球直径。214=SR甲正方形的对角线等于球的直径。224=2SR乙球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR丙AACBPO二、构造法例1、（2012辽宁16）已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为。3331、构造正方体变式题、已知球O的面上四点A、B、C、D，则球O的体积为。3,BCABDABCABABCDA，平面29构造边长为根号3的正方体即可。例5、求棱长为a的正四面体P–ABC的外接球的表面积。求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径变式题：一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A.B.C.D.234336A2、构造长方体思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．2、构造长方体思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.例（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.3思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.2、构造长方体变式点A、B、C、D在同一个球面上，，则B、C两点间的球面距离是__________BBCDA平面BCDC6,AC=213,AD=8AB34，，变式、(2013郑州质检)在三棱锥中，,则该三棱锥的内接球的表面积为。ABCD6,5ABCDACBDADBC43三、确定球心位置法球与三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.三、确定球心位置法三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.•球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.•例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.球与旋转体切接问题画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找两几何体元素之间的关系．例求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．四、构造直角三角形例、正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径是多少？解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积正四面体的体积在中，即，得223434aaS表22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaaBCDAVrS表31aaaSVrBCDA12631223323表BEORt222EOBEBO22233raRaR46rR3五、寻求轴截面圆半径法例1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为.CDABSO1图3解设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得又，∴球心O必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由是外接圆的半径，也是外接球的半径.故1OABCDOO平面11SOASCASC12..,2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA为斜边的是以得34球VABCDSO平面12解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合。例在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R与r和棱长间的关系即可．