概率统计2-3

问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.42d求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，§2.3随机变量函数的分布方法将与Y有关的事件转化成X的事件问题设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？设r.v.X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk由已知函数g(x)可求出r.v.Y的所有可能取值，则Y的概率分布为,2,1,)()(:ipyYPikyxgkki离散型随机变量函数的分布如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的分布律为Xkkpppxxx2121～则Y=g(X)kkpppxgxgxg2121)()()(~例1已知X的概率分布为Xpk-101221418181求Y1=2X–1与Y2=X2的分布律解Y1pi-3-11321418181Y2pi101421418181Y2pi014218381已知X的d.f.f(x)或分布函数求Y=g(X)的d.f.方法：（1）从分布函数出发（2）用公式直接求d.f.连续型随机变量函数的分布对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.))(()()(yXgPyYPyFY方法一从分布函数出发)()(yFyfYY解：设Y的分布函数为FY(y)，例设X~其它,040,8/)(xxxfX求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()28y28y于是Y的密度函数21)28()()(yfdyydFyfXYY0)28(yfX168)28(yyfX0故其它,0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到0x4时，0)(xfX即8y160)28(yfX此时168)28(yyfXY=2X+8其它,040,8/)(xxxfX解)()(yYPyFY)(ybaXP1()()YFyPXyba)(1byaFX当a0时，)(11)(byafayfXY例已知X的d.f.为,),(baXYxfXba,为常数，且a0,求fY(y)当a0时，)(1)(byaXPyFY)(11byaFX)(11)(byafayfXY故)(1||1)(byafayfXY例如设X~N(,2),Y=aX+b,则)(1||1)(byafayfXY2222)(||21aabyeayY~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2),)1,0(~NXY则例设X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.)(xfX)(yXyP求导可得0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY当y0时,)()(yYPyFY)(2yXP注意到Y=X20，故当y0时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：设Y和X的分布函数分别为和，)()(yFyFXXexxfX2221)(则Y=X2的概率密度为：0,00,21)(221yyyfeyyY0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx例如,设X~N(0,1),其概率密度为：从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}28y用代替{X2≤y}}{yXy这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.其它,0,)()]([)(11ydyydgygfyfXY其中，),(minxgbxa),(maxxgbxa此定理的证明与前面的解题思路类似.定理设连续型r.vX具有概率密度fX(x),又设y=g(x)单调可导，其反函数为则Y=g(X)是一个连续型r.v，其概率密度为),(1ygx方法二用公式1111111111()(){y}{()}(),()=(y)(())=(())[()]'0,()'()'[()][()]'[()][()]'[()YYXYYXXXYgxgyYXgyYFyFyPYPXgyFgyygyfyFyFgygyfgygyfgfy证明：当严格单调增加，其反函数也严格单调增加，则事件与事件等价，设的概率分布函数为则两端关于求导，注意所以或者111()][()]'()()0,()-[()][()]'()(-)()0,XYygygyggxfgygygygfy，其他同理可得，当严格单调减小时有，，其他1{y}{()}YXgy注意：此时事件与事件等价前例设X~其它,040,8/)(xxxfX求Y=2X+8的概率密度.其它,0168,328)(yyyfY21,28dydxyx其它,0,)()]([)(11ydyydgygfyfXY例X~E(2),Y=–3X+2,求)(yfY解)2(31|3|1)(yfyfXY他其,0032,231322yey其他,02,323)2(2yey