2.1.2求曲线的方程

2.1.2求曲线的方程曲线C方程f(x,y)=0（共两课时）一、复习回顾1.曲线的方程、方程的曲线；2.点在曲线上的充要条件；3.证明已知曲线的方程的方法和步骤；例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。思考1：我们有哪些可以求直线方程的方法？0xyAB二、典例分析运用直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=12又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22，即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。y0xABM法二:若没有现成的结论怎么办──需要寻找一般性的方法例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。求曲线的方程解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy化简综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。法二:一般性的方法⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明:⑵设点1M的坐标11(,)xy是方程x+2y-7=0的解,即11270xy从而，1172xy所以，11MAMB综上,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.222221111111118215613MAxyyyyy222221111111374275613MBxyyyyy点1M到A、B的距离分别是点1M在线段AB的垂直平分线上.第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.9例1已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.xy0(0,2)(,)xyF..MlB设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合2{}.PMMFMB由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为2222(),xyy①将①式移项后两边平方，得,)2()2(222yyx.812xy化简得因为曲线在x轴的上方，所以y0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是.0812）（xxy.0812）（xxy如何建立直角坐标系？在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”这一原则．一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系：(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系．(2)若已知两定点，常以两定点的中点(或其中一个定点)为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系．(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系．(4)若已知一定点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为x轴正方向建立直角坐标系．(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系．13课堂练习:练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy∴y=22(4)xy限(找几何条件)代(把条件坐标化)∴222816yxyy∴2816xy化简这就是所求的轨迹方程.练习：两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.xy0MBA解:如图以直线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系(,)xy则A、B的坐标分别为(3,0)(3,0)、设M的坐标分别为(,)xy依题意得2226MAMB∴2222(3)(3)26xyxy化简整理得224xy∴点M的轨迹方程为224xy.注:这种求轨迹方程的方法叫做直接法.本节小结：一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:1、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐标;2、找条件，由条件列出方程;3、化简方程.说明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.二、求曲线方程的常用方法：直接法检验作业：P37A3、4思考题：优化设计P21例21．曲线与方程如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．忆一忆知识要点曲线C解要点梳理例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.OxyQCP解法一(直接法)：设OQ为过O的一条弦，P(x,y)为OQ的中点，则CP⊥OQ，OC的中点为M(,0)如图，从而所求的方程为2211.24xy而|PM|=|OC|=121212M也可利用斜率，但要讨论01x≤例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.解法二(定义法)：OxyQCP由解法一知，∠OPC=900从而所求的圆的方程为2211,24xy12M故动点P在以M(,0)为圆心，OC为直径的圆上01x≤例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.解法三(相关点法或称代入法)：OxyQCPP(x,y)为OQ的中点，设Q(x1,y1),则从而所求的方程为2211,24xyM又点Q在圆C上，1122xxyy1122xxyy∴(x1-1)2+y12=1故(2x-1)2+(2y)2=101x≤例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.解法四(参数法)：OxyQCP设P(x,y)，Q(1+cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)则消去参数，得2211,24xyM又点P为OQ的中点，1cos2sin2xy如图，01x≤例2.设圆C：(x-1)2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.解法四(参数法二)：OxyQCP设动弦OQ的方程为y=kx,代入圆的方程，得消去参数k，得2211,24xyM(x-1)2+k2x2=1.即(1+k2)x2-2x=0.122121xxxk设P(x,y)为轨迹上任一点而y=kx，01x≤方法小结：求曲线的轨迹方程的主要方法有：直接法代入法（相关点法）参数法定义法待定系数法所求动点随另一动点在已知曲线上的运动而运动，称为相关点法.已知曲线的类型，可先设出曲线的方程分析作业：P37A4求曲线方程(轨迹方程)常见的方法直接法直接法动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程定义法动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量代入法动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程待定系数法根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数本节小结：一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:1、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐标;2、找条件，由条件列出方程;3、化简方程.说明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.二、求曲线方程的常用方法：直接法、相关点法、几何法、定义法、参数法、待定系数法课堂练习：P37练习3作业：B组1、2思考：