二阶常系数非齐次线性微分 方程

教学目的：掌握二阶常系数线性方程的求解方法教学重点：二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解教学难点：二阶常系数非齐次线性方程的特解二阶常系数线性微分方程)(xfqyypy二阶常系数线性微分方程的一般形式为)(xf()fx这里p、q是常数，是x的已知函数．当恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．二阶常系数线性微分方程证)(1xy)(2xy与为方程的解，则0111qyypy0222qyypy，2211yCyCy2211yCyCy2211yCyCy又，，定理221122112211yCyCqyCyCpyCyCqyypy0)()(22221111qyypyCqyypyC2211yCyCy即为方程的解．于是)()(12xyxy2211yCyCy在不恒等于常数的条件下，1C2C中含有两个相互独立的任意常数和所以2211yCyCy是方程的通解．1()yyx)(2xyy定理设与为)()(12xyxy的相互独立的两个特解(即不恒等于常数)，0qyypy2211yCyCy1C为方程的通解，这里与则2C为任意常数．rxyerxryerxrye2设为方程(8-22)的解，则，2()0rxrprqe0erx代入方程(8-22)得.由于，所我们把代数方程(8-23)称为微分方程(8-22)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(8-22)的三种不同形式的通解．20rprq以有（8-23）rxye只要r满足(8-23)式，函数就是微分方程(8-22)的解．特征方程与特征根042qp(i)当时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r2r和，此时可得方程(8-22)的两个特解：xry1e1xry2e2，042qp(ii)当时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21rr11e.rxy，此时得微分方程(8-22)的一个特解xrryy)(1212e/xrxrCCy21ee21且常数，故是方程(8-22)的通解．为求(8-22)的通解，还需求出与相互独立的xr1e另一解.2y特征方程与特征根0])()2[(e12111quurupururuxr0)()2(1211uqprrupru)(/12xuyy)(e12xuyxr)(e121uruyxr不妨设，则，，)2(21121ururueyxr22,yy2y．将及代入方程(8-22)，得xr1e将上式约去并合并同类项，得1r由于是特征方程(8-23)的二重根，因此，0121qprr021pr且0u于是得xu不妨取xrxy1e2由此得到微分方程(8-22)的另一个特解xyy12/且常数，从而得到微分方程(8-22)的通解为xrxrxCCy11ee21)(e211xCCyxr即证明ir1ir2xiy)(1exiy)(2esincoseii)sin(cose1xixyx)sin(cose2xixyxxyyyxcose)(21211xyyiyxsine)(21212042qp(iii)当时，特征方程(8-23)有一对共轭复根1y2y将和改写成于是得到两个新的实函数)sincos(e21xCxCyx故微分方程(8-22)的通解为于是得到微分方程(8-22)的两个特解但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式xyytan/12可以验证它们仍是(8-22)的解，且常数，证明综上所述，求微分方程通解的步骤可归纳如下：第一步写出微分方程(8-22)的特征方程，求02qprr第二步根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程出特征根；(8-22)的通解：表6-12120,rprqrr特征方程的根'''0ypyqy微分方程的通解12rr两个不等实根12rr两个相等实根1,2ri一对共轭复根xrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21)sincos(e21xCxCyx求通解步骤xxCCy421ee)(e212xCCyx043yyy例1求微分方程的通解．0432rr解所给微分方程的特征方程为121,4.rr特征根为于是，所求微分方程的通解为044yyy例2求微分方程的满足初始条件0442rr解所给微分方程的特征方程为221rr特征根．故所求微分方程的通解为xxCxCCy22212e)(e2求导得1|0xy1|0xy将初始条件及代入以上两式求得1|,1|00xxyy的特解．例题.1,121CC)1(e2xyx故所求特解为xttfxf0d)(2)()()(xfxf)(xfxxttfxtttfxxf00d)(d)(21)(例3设函数可导，且满足)(xf试求函数.(0)1f解由上述方程知．方程两边对x求导得(0)2f由此可得．上式两边再对x求导得这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012r12,riri特征根12()cossinfxCxCx于是，所求微分方程的通解为例题12()sincosfxCxCx由此得(0)1f(0)2f121,2CC由，得()cos2sinfxxx所以本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．2(2)(24)0rrrr21234ee(cos3sin3)xxyCCCxCx08)4(yy例4求四阶微分方程的通解．084rr解所给微分方程的特征方程为，即123,40,2,13rrri其特征根为于是得方程的通解例题二、二阶常系数非齐次线性微分方程从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质．()yyx定理2设是二阶常系数非齐次线性微分方程Y的一个特解，而为对应于方程(8-24)的齐次线性微分方)(xfqyypy(8-24)yYy为方程(8-24)的通解．程的通解，则二阶常系数非齐次线性微分方程由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求：y②求非齐次线性微分方程的一个特解yYy③原方程的通解为①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y二阶非齐次方程解题步骤mmmmmaxaxaxaxP1110)(,e)()(xmxPxf)(xPmx(i)其中是常数，是的m次多项式:求齐次线性微分方程的通解Y的方法前面已讨论过，所以只要研究一下如何求非齐次方程的一个特解就行．限于篇幅,这里只讨论f(x)为以下两种形式的情形．多项式，其中有一个可为零．、()e()cos()sinxtnfxPxxPxx(ii)，其中和)(xPt)(xPnxtn是常数，分别是的次和次特解的求法中的待定系数．代入到原方程中，确定2()e()2()()xyQxQxQx对于以上两种情形，下面用待定系数法来求方程的一个特解，其基本思想是：先根据)(xf的特点，确定特解yyy的类型，然后把Ⅰ.型因为方程(8-24)右端是多项式xmxPxfe)()()(xf)(xPmxe与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，因此，我们推测()exyQx)(xQ(其中是某个多项式)y()y()y可能是方程(8-24)的一个解，把、及代入方程)(xQ()exyQx(8-24)，求出的系数，使满足方程(8-24)即可．()exyQx()e()()xyQxQx，为此将待定系数法xe代入方程(8-24)并消去，得)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm．(8-25),)(1110mmmmmbxbxbxbxQ)1(02qprr如果不是方程(8-24)的特征方程的根，)(xPmm由于是一个次多项式，要使方程(8-25)的两端恒等，可令)(xQm)(xQm)(xQm为另一个次多项式，即设为mbbb,,,10)(xQm其中为待定系数，将代入(8-25)，比较等式两端xmbbb,,,101m同次幂的系数，可得含有的个方程的联立方程()exmyQx．),1,0(mibi得到所求特解组，解出第一讲初等函数)(xQm),1,0(mibi并且可用同样的方法确定的系数．02qpm),()(2xQxxQm)3(如果02qprr是特征方程的重根，即,02p)(xQ且要使两端恒等，必须是次多项式，此时可令)(xQm并且利用同样的方法确定),1,0(mibi的系数．特征方程02qpm要使两端恒等，),()(xxQxQm)2(02qprr如果是特征方程的单根，即，,02p)('xQ但必须是次多项式，此时可令综上所述，我们有以下结论：)(xPm同次(m次)的多项式，而k按不是特征方程的根、解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端xmxPxfe)()(，则二阶常系数非齐次线性微分方如果()ekxmyxQx)(xQm的特解；其中是与程(8-24)具有形如是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.2106652xxyyy例5求方程的通解．xmxPe)(,02()6102mPxxx，其中函数形如0652rr065yyy先求对应齐次方程的通解，其特征方程是特征方程2yAxBxC.2106652)106(622xxCBAxABAx.2652,10106,66CBAABA,3,221rr2312ee.xxYCC特征根对应齐次方程的通解为0因为不是特征根，因而所求方程有形如()2,yAxB()2,yA的特解．由于将它们代入原方程中x比较上式两端的同次幂的系数可得.0,0,1CBA2.yx解方程组得故所求方程的一个特解为.ee23221xCCyxx从而所求方程的通解为得恒等式特解类型1212e()xYCCx622AxBx0,31BA解所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函xmxPe)(,2()2mPxx，其中044yyy所求解的方程对应的齐次方程的通解为2r由于是二重特征根，所以设所求方程有形如22()exyxAxB的特解．将它代入所求方程可得比较等式两端x的同次幂的系数，得321e3xyx于是得所求方程的一个特解为23121e()3xyCCxx最后得所求方程的通解为xxyyy2e24'4例6求方程的通解．数形如例题e[()cos()sin]kxmmyxQxxRxx]sin)(cos)([e)(xxPxxPxfnlx可以推证，如果则二阶常系数非齐次线性微分方程(8-24)的特解可设为),(xQm)(xRm},,max{nlm其中是m次多项式，而ki按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0]sin)(cos)([e)(xxPxxPxfnlxII．型或1.特解类型2xxCCY221ee()e[()cos()sin]xyABxBAx()e[2cos2sin