二阶常系数齐次线性微分方程的

2020/2/231二阶常系数齐次线性微分方程的通解2020/2/232一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式2020/2/233二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy2020/2/234有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为2020/2/235,11xrey已知为方程的两个特解xrey22反之：如何求微分方程？为特征方程的根21,rr0))((21rrrr则特征方程为0)(21212rrrrrr0)(2121yrryrry微分方程为2020/2/236有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为2020/2/237,1xrxey已知为方程的一个特解反之：如何求微分方程？为特征方程的重根r0)(21rr则特征方程为022112rrrr02211yryry微分方程为2020/2/238有一对共轭复根,1jr,2jr,)(1xjey,)(2xjey)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyjy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为2020/2/239定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法..044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例12020/2/2310例1求方程y-2y-3y=0的通解.解该方程的特征方程为r2-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为.ee321xxCCy2020/2/2311例2求方程y-4y+4y=0的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.解该方程的特征方程为r2-4r+4=0，,e)221xxCCy（求得.e)(2e22122xxxCCCy将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为它有重根r=2.2020/2/2312.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例22020/2/2313例3求方程2y+2y+3y=0的通解.解该方程的特征方程为2r2+2r+3=0，它有共轭复根424422,1r.i52121,21即,521对应的两个线性无关的解为,25cose211xyx,25sine212xyx所以方程的通解为.521sin521cose2121xCxCyx2020/2/2314例4求方程y+4y=0的通解.解该方程的特征方程为r2+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即=0，=2.对应的两个线性无关的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为.2sin2cos21xCxCy2020/2/2315方程。的三个特解，求此微分次微分方程是二阶常系数线性非齐：已知例xxxxxxxxxeeqyypyeexeyxeyexey2,,323221,31xeyy解：,221xeyy11r特征根22r特征根0)2)(1(rr特征方程为：022rr02yyy齐次方程为xxxeeyyy22微分方程为2020/2/2316三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(111011102020/2/2317注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy22112020/2/2318特征根为,,,154321jrrjrrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx解,01222345rrrrr特征方程为,0)1)(1(22rr.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy例42020/2/2319二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)2020/2/232002qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx2020/2/2321思考题求微分方程的通解.yyyyyln22