二阶行列式

行列式问题提纲1、如何引出二阶行列式？2、二阶行列式是什么？3、如何计算二阶行列式的值？4、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？一、引入：给出一个二元一次方程组：（A）111222axbycaxbyc（其中12210abab）用加减消元法解这个方程组解得当12210abab时方程组有唯一解1221122112211221cbcbxababacacyabab观察方程组解的表达式，发现解的分子分母都是两数乘积的差。如分母：1221abab二、定义概念：二阶行列式（1）定义：1122abab称之为行列式因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式且规定1122abab1221abab其中1221abab叫做行列式的展开式；1212,,,aabb叫做行列式的元素*二阶行列式就是表示四个数或式的特定算式的一种记号（2）二阶行列式的表示符号：一般用大写字母表示（2）二阶行列式的运算规则12,ab21,ab我们把（主对角线）和（副对角线）分别用两条对角线连接用主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积即为行列式的值。利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则。由此我们得到：（1）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成乘积差的形式，进而计算出它的值（2）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示成一个二阶行列式。三、习题讲练：例1：展开并化简下列行列式：5182（1）1582（2）（3）cossinsincos（4）21111aaa例2：将下列各式用行列式表示：（1）24bac（2）241xx解：24(1)44babacbbaccb2(2)41xx(41)(1)xxx411xxx讨论：你还能有哪些不同的写法？结论：式子的分解不唯一，即使分解成相同的形式，行列式的写法也可以有不同的组合。行列式应用于解二元一次方程组•基本步骤：例1：解下列二元一次方程组：（1）231232xyxy（2）23104620xyxy注意:1、正确写出行列式D、2、把方程组写成标准形式,xyDD(二）讨论二元一次方程组的解的情况问题（1）请说出两个方程组的解的情况（2）请考察各个行列式的情况问题：当方程组（A）的解的情况如何?0D给出一个二元一次方程组：（A）应转化为方程组111222axbycaxbycxyDxDDyD（三）作为判别式的二阶行列式DDyDDxA0D)(yx）有唯一解时，方程组（当i讨论二元一次方程组的解的情况（ii)在D=0的情况下讨论转化的方程组解的情况。xyDxDDyD（1）如果中至少有一个不为零，不妨设则无论x取何值，方程都不成立，即x无解从而方程组(A)无解。,xyDD0xDxDxD（2）如果显然在方程中，由于从而x可取任意实数再由x的值代入方程求出相应的y值，所以方程组有无穷解。0xyDDxDxD0xDD由以上讨论，我们得到结论：当时且中至少有一个不为零，则方程组无解；0D,xyDD当D=时，方程组有无穷解。0xyDD当时方程组（A）有唯一解；0D方程组（A）有解情况主要取决于D，那么是方程组A有唯一解的————条件。把Ｄ叫做方程组解的判别式。0D例２、判断二元一次方程组解的情况：4358622xyxy（1）463695xyxy（2）326223xyxy（3）注意：若则方程组无解，不必再考虑是否为零。0,0xDDyD若，则必须再考虑是否为零，由此判断方程组解的情况。0xDDyD例2：解关于x,y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：42mxymxmym244(2)(2)1mDmmmm解：)2(4)2(42mmmmmmmmDx)2)(1()2(122mmmmmmmDy2m1my2mmx0D2m)1(，原方程组有唯一解时，当原方程组无解。，时，当0,8D0D2m)2(x22yx22yx{,0DDD2m)3(yx这时原方程组为原方程组有无穷多解，时，当)Rt(2t2ytx{),Rt(tx为则原方程组的解可表示令先讨论系数行列式不为0的情况，再讨论系数行列式为0的情况解本题要注意的几点：注意讨论的条理性：（１）（从而得到唯一解；（２）再分别讨论（m=2,m=-2)的两种情况.注意当方程组有无穷解时，正确书写解的一般表达式。0D0D2m小结（1）理解行列式的意义，行列式表示一个特定算式下的一个数或式子（2）明确行列式展开的对角线法则（3）掌握行列式的计算及把一个式子表示成行列式的形式