二面角

垂直关系------二面角一、角与二面角之间的关系角图形构成表示法•O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.定义射线点射线半平面棱半平面AOB二面角a或ABa棱面面AB二、二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O1.二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____一点.2.二面角的平面角的两边分别在二面角的_______内.3.二面角的平面角的两边都与棱________.4.二面角的平面角所在的平面与二面角的棱________.任意两个面垂直垂直5.二面角的平面角的范围是：_____________.0°≤θ≤180°三、基本概念填空四、二面角求法1、定义法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º1、定义法1、定义法例1、如图,已知二面角α-а-β等120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.1、定义法例2、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。1、定义法例3、如图，立体图形V－ABC的四个面是全等的正三角形，画出二面角V－AB－C的平面角并求出它的度数。1、定义法（练习）1、定义法（练习）2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。2、三垂线法例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。2、三垂线法例2、如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.2、三垂线法例3、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。2、三垂线法2、三垂线法（练习）2、三垂线法（练习）3、垂面法已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直3、垂面法例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的的正弦值。3、垂面法3、垂面法例3、如图在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。3、垂面法4、射影面积法若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的大小为COS＝S’÷S4、射影面积法