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任意角和弧度制问题：在实际问题中还会遇到其他角．角的定义角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.始边终边AOBα顶点角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？00360~0回顾：1.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、转体900度就是一个角的概念.角的形成结果2.在实际问题中还会遇到其他角．①体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．②钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角不全是0o～360o范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的.我们必须将角的概念进行推广.在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的角是否相等？知识探究（一）：角的概念的推广思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到任意大小.βB2γAB1αO思考3：对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？000660,150,210画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.思考4：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？练习1：钟表经过4小时，时针与分针各转(填度).2：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？－120°，450°.－120°，-1440°.知识探究（二）：象限角思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？xoy如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限(位置)，不能反映角的大小.思考2：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？思考4：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo探究三：终边相同的角思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°xyo328°0003603232800036032392思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？Zkk,3603200思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以表示为：3.终边相同的角即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例1在0°～360°范围内，找出与－950°角终边相同的角，并判定它是第几象限角.130°，第二象限角.例1判别下列各角是第几象限的角。(1)4050(2)4880(3)8400(4)-1200(1)4050=3600+450而450是第一象限角，所以4050是第一象限角解：(2)4880=3600+1280而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角(3)8400=2×3600+1200而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角(4)-1200=-3600+2400而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角例2在0°～360°内找出与下列各角终边相同的角(1)9000(2)-500(3)4250(4)-6700(1)9000=2×3600+1800所以9000的角与1800角终边相同解：(2)-500=-3600+3100所以-500的角与3100角终边相同(3)4250=3600+650所以4250的角与650角终边相同(4)-6700=-2×3600+500所以-6700的角与500角终边相同思考3：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考1：终边在x轴非正半轴、非负半轴上的角分别如何表示？x轴非负半轴:α=k·360°,k∈Z；x轴非正半轴:α=k·360°+180°,k∈Z；2：终边在x轴上的角的集合表示终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；4.终边在坐标轴上角的表示思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴上的角分别如何表示？y轴非负半轴:α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴非正半轴:α=270°＋k·360°，k∈Z.4：终边在y轴上的角的集合表示终边在y轴上:S={α|α=90°+k·180°,k∈Z}.思考：终边在第一象限的角的集合如何表示？5.终边在各个象限角的表示S={α|k·360oα90o＋k·360°，k∈Z}；第二象限：S={α|90o＋k·360°α180o＋k·360o,k∈Z}；第三象限：S={α|180o＋k·360°α270o＋k·360o,k∈Z}；第四象限：S={α|－90o＋k·360°αk·360o,k∈Z}；思考：终边在其它象限的角的集合如何表示？典例如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？90°＋k·360°α180°＋k·360°180°＋k·720°2α360°＋k·720°45°＋k·180°α/290°＋k·180°S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.例2写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤＜720°的元素写出来.xyO0°90°180°270°360°例3.223已知角是第一象限的角，试问、、各是第几象限的角？.2综上可知：是第一或第三象限的角kkkZ18018045.2又，2()knnZ当时，360360452nnnZ，21()knnZ当时，3601803602252nnnZ，xyO0°90°180°270°360°.2故是第一象限的角.2故是第三象限的角解：由角是第一象限的角可知：36036090kkkZ，xyO0°90°180°270°360°例3.223已知角是第一象限的角，试问、、各是第几象限的角？xyO0°90°180°270°360°kkkZ12012030.3又，3()knnZ当时，360360303nnkZ，，31()knnZ当时，3601203601503nnkZ，，.3故是第一象限的角.3故是第二象限的角32()knnZ当时，3602403602703nnkZ，，.3故是第三象限的角.3综上可知：是第一或第二或第三象限的角几何法如图如图