二元函数泰勒展开

一、高阶偏导数(,)(,),(,)xyzfxyfxyfxy由于的偏导数一般仍,,xy然是的函数如果它们关于x与y的偏导数也导数有如下四种形式:22(,),xxzzfxyxxx2(,),xyzzfxyxyyx存在,说明f具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏2(,),yxzzfxyyxxy22(,).yyzzfxyyyy类似地可以定义更高阶的偏导数,例如(,)zfxy的三阶偏导数共有八种情形:3323(,),xzzfxyxxx2222(,),xyzzfxyyxxy23(,),(,),(,),xyxxyyfxyfxyfxy22(,),(,),(,).yxyyxyxfxyfxyfxy解由于22e,2e,xyxyzzxy例1322e.xyzzyx求函数的所有二阶偏导数和因此有2222(e)e;xyxyzxx222(e)2e;xyxyzxyy222(2e)2e;xyxyzyxx2222(2e)4e;xyxyzyy32222(2e)2e.xyxyzzxyxxyx解2222,,zyzxxyxyxy因为所以二阶偏导数为22222222,()zyxyxxxyxy例2arctan.yzx求函数的所有二阶偏导数22222222,()zyxyxyyxyxy22222222,()zxxyyxxxyxy22222222.()zxxyyyxyxy注意在上面两个例子中都有22,zzxyyx数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22222222,0,(,)0,0.xyxyxyxyfxyxy它的一阶偏导数为xyyx即先对、后对与先对、后对的两个二阶偏导数相等(称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导42242222222(4),0,()(,)0,0;xyxxyyxyxyfxyxy42242222222(4),0,()(,)0,0.yxxxyyxyxyfxyxy(0,0)f进一步求在点关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数:00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy00(,0)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfxfxfxx由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此先按定义把0000(,)(,)xyyxfxyfxy与表示成极限形式.由于0(,)(,)(,)lim,xxfxxyfxyfxyx因此有0000000(,)(,)(,)limxxxyyfxyyfxyfxyy00000(,)(,)limxfxxyfxyx000000(,)(,)1limlimyxfxxyyfxyyyx00001limlim(,)yxfxxyyxy000000(,)(,)(,);(1)fxyyfxxyfxy类似地有为使0000(,)(,)xyyxfxyfxy成立，必须使(1)、(2)这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．定理7若(,)(,)xyyxfxyfxy与都在点00(,)xy连续，则0000001(,)limlim(,)yxxyfxyfxxyyxy000000(,)(,)(,).(2)fxxyfxyyfxy证令00000000(,)(,)(,)(,)(,),Fxyfxxyyfxxyfxyyfxy00()(,)(,).xfxyyfxy于是有00(,)()().Fxyxxx(4)对应用微分中值定理，1(0,1),使得0000(,)(,).xyyxfxyfxy(3)01(,),xfxxyy又作为的可导函数再使用微分中值定理，2(0,1),使上式化为000102()()(,).xyxxxfxxyyxy由(4)则有010212(,)(,)(0,1).xyFxyfxxyyxy(5)如果令0001()()()xxxxxx010010[(,)(,)].xxfxxyyfxxyx00()(,)(,),xfxxyfxy则有00(,)()().Fxyyyy用前面相同的方法,又可得到030434(,)(,)(0,1).yxFxyfxxyyxy(6)当,xy不为零时，由(5),(6)两式又得010203041234(,)(,)(0,,,1).(7)xyyxfxxyyfxxyy在且相等，这就得到所要证明的(3)式．注1若二元函数(,)fxy在某一点存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点的所有()mmn阶混合偏导数都与求导顺序无关．注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例(,,),(,,),(,,),xyzxzyyzxfxyzfxyzfxyz(,)(,)xyyxfxyfxy与00(,)xy由定理假设都在点连续,故当0,0xy时,(7)式两边极限都存如三元函数(,,)fxyz的如下六个三阶混合偏导数(,,),(,,),(,,)yxzzxyzyxfxyzfxyzfxyz若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数设(,),(,),(,).zfxyxstyst若函数,,f都具有连续的二阶偏导数，则复合函数((,),(,)),zfststst对于同样存在二阶连续偏导数.具体计算如下:,zzxzysxsys;zzxzytxtyt,,,zzzzststxy显然与仍是的复合函数其中是,,,,,,.xxyyxystzstst的函数是的函数继续求,st关于的二阶偏导数:22zzxzxsxsxssszyzysysyss2222222222zxzyxzxsxyssxxszxzyyzyyxsssyys222222222222.zxzxysxyssxzyzxzysxyyss22222222222222;zzxzxytxytttxzyzxzytxyytt同理可得22222222;zzxxzxyxyststxysttsxzyyzxzystxstysty22.zztsst222(,),,.xzzzfxyxyx设求例3解这里z是以,xy为自变量的复合函数,它也可以改写成如下形式:(,),,.xzfuvuxvy由复合函数求导公式，有1.zfufvffyxuxvxuv,,,,ffuvxyuv注意这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数．所以221zffxuyvx2222221fufvfufvxuvxyvuxxuv22222221,fffyuvuyv21zffxyyuyv22221fufvfyuvyvuy2221fufvyvuyyv2223221.xfxffuvvyyvy二、中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿,对于(2)nn元函数也有相同的公式，只是形式上更复杂一些．先介绍凸区域若区域D上任意两点的连线都含于D,则称D为凸区域(图10.3-6).这就是说,若D为凸区域，则对任意两点111222(,),(,),PxyPxyD和一切(01),恒有121121((),()).PxxxyyyD上连续,在D的所有内点都可微,则对D内任意两点(,),(,)int,(01),PabQahbkD使得定理8(中值定理)设(,)fxy2RD在凸区域图10.3-6凸1P2PPDD非凸PD1P2PD(,)(,)(,)(,).xyfahbkfabfahbkhfahbkk(8)证令()(,)tfathbtk,它是定义在[0,1]上的一元连续函数,且在(0,1)内可微.根据一元函数(1)(0)(),(9)其中中值定理，(01)，使得()(,)(,).xyfahbkhfahbkk(10)由于D为凸区域，因此(,)ahbkD，故由(9),(10)两式即得所要证明的(8)式．注若D为严格凸区域，即111222(,),(,)PxyPxy,(01)D，都有121121((),())int,PxxxyyyD则对D上连续、intD内可微的函数f,只要,,PQD也存在(0,1)，使(8)式成立．例如,,intfDD在闭圆域上连续在内可微,则必有(8)式成立.倘若[,][,]Dabcd,那就不能保证(8)式成立(为什么?)．公式(8)也称为二元函数(在凸域上)的中值公式.它与定理17.3的中值公式(12)相比较,差别在于这里的中值点(,)ahbk是在连线PQ上，而在定理3中的12,可以不相等．推论若函数f在区域D上存在偏导数，且0,xyff则f在区域D上为常量函数．请读者作为练习自行证明此推论．232122(13)(123).分析将上式改写成23212(13)(123),2左边恰好是1(1,0)(0,1)12ff，故应在两点21(,)21fxyxxy例4对应用微分中值定理，证明存在某个(01),使得12(1,0)(0,1)PP与之间应用微分中值定理．计算偏导数:232232,.(21)(21)xyxyxffxxyxxy易知xyff与在凸闭域22{(,)|1}Dxyxy上连续,12,PPD.由中值定理,(01),使得(0,1)1(0,1)(1)xyff221xy时2210.xxy证首先,当,有再11(1,0)(0,1)2ff232(1)1[2(1)1]f000(,)Pxy的某邻域定理9(泰勒定理)若在点内任一点00(,),(0,1),xhyk使得0()