二元函数的极值及其应用.

郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111061班级题目二元函数的极值及其应用姓名XXX学号XXXXXXX指导教师XXX职称XXX二О一五年四月三十日内容摘要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要内容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。关键词二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用theExtremeValueofBinaryFunctionandItsApplicationXXXXXXBy:XXXXTutor:XXXXXAbstractDualfunctiontheoryisthefoundationofotherdisciplines,includingextremevalueisanimportantcontentinfunction,theextremevaluealsohasalotofresearchmethods,andthefunctionextremevaluetheoryhasalotinlifehaspracticalsignificance.Bothinscientificresearch,andinthelogistics,theactualplanningengineering,oftenneedtosolvehowtomaketheinvestmenttomaximumoutput,outputthemost,thehighestefficiencyoptimization.Theactualproblemcanbetransformedintoamathproblemresearchcapabilities,Andthenintothefunctionofthemaximumandminimumvalueproblemtosolve.Isfirstofall,thepaperproposestheresearchbackgroundandpracticalsignificanceofbinaryfunction,thengivetheunconditionalextremevalueofbinaryfunctiontheory,theconditionsofbinaryfunctionextremevaluetheory,extremevalueofbinaryfunctiondetermination,aswellastheextremevalueofbinaryfunctiontheoryapplication,forexample.Illustratedbyanexampleofextremevalueproblem,usingtheknowledgeinsolvingtheimportantapplicationofbinaryfunctionextremumproblems.KeywordsDualfunction；unconditionalextremum；conditionalextremevalue,；judgement；application目录第一章引言...............................................1第二章二元函数无条件极值理论.............................22.1二元函数无条件极值的定义............................22.2二元函数无条件极值存在的必要条件.....................22.3二元函数无条件极值存在的充分条件.....................32.4二元函数极值的求解方法...............................4第三章二元函数条件极值理论................................63.1二元函数条件极值的定义...............................63.2二元函数条件极值的求解方法...........................6第四章二元函数极值的判定.................................134.1一阶偏导数判定极值..................................134.2二元函数条件极值的简单判别法........................144.3极值判定的改进......................................17第五章二元函数极值的理论应用举例........................195.1二元函数极值的理论应用..............................195.2极值的实际应用......................................21总结..................................................24致谢..................................................25参考文献..................................................26·1·第一章引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。为了获得生活或经济中的最佳方案，也常常通过用函数极值来解决我们需要解决的问题。函数极值在数学研究中占重要地位，而且应用性非常广泛。无论是在科学研究，还是实际工程，经济管理中，都存在最优化问题，将这些经济和生活问题转化为函数问题具有现实意义。为了使我们所学到的函数极值理论更好的应用在实际生活中，就需要我们更加系统的总结有关函数极值理论知识。通过这些问题的解决，函数极值会为我们的生活提供最合理的解决方案，所以极值理论在我们的现实生活中是不可或缺的，也是很具有现实意义的。函数是很多学科的基础，也有很多人对函数极值进行了更深层次的探究，并且学术性论文中都发表了不少独到见解关于函数极值问题，并不断地对其存在的缺陷进行改进，同时在后来的时间里对此问题进行了更透彻的分析和补充。通过本文，我们将更透彻的全面的了解二元函数极值的理论与实际意义。·2·第二章二元函数的无条件极值理论2.1二元函数无条件极值的定义定义一，设函数f在000(,)Pxy的某个邻域0()UP内有定义，若该邻域内的任一点0(,)()PxyUP，成立不等式0()()fPfP（或0()()fPfP），则称函数f在0()P点处取得极小值（或极大值），称点000(,)Pxy为函数f的极小值点（或极大值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。例2.1.1求32()(25)fxxx的极值点与极值。解：523233()(25)25fxxxxx在,上连续，且当0x时，有21'3331010101333xfxxxx。当'0fx时知，1x是稳定点，0x是不可导点。判定是否为极值点，由下表分析：x,000,111,'y不存在0y单调增0单调减3单调增点0x为f的极大值点，极大值为00f；1x为f的极小值点，极小值为13f。2.2二元函数无条件极值存在的必要条件定理1如果函数(,)zfxy在000(,)Pxy点存在偏导数，且在000(,)pxy处取得极值，则在该点处的偏导数必为零，即00(,)0xfxy且00(,)0yfxy。定理1说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则可导函数的极值点必定是它的驻点，然而其逆命题不成立，即：函数的驻点不一定·3·是极值点。例如函数zxy，(0,0)是它的驻点，但在(0,0)点的某邻域内，直线yx上的点有2(,)(0,0)0fxxxf然而yx上的点有2(,)(0,0)0fxxxf所以(0,0)点并不是以上函数的极值点。2.3二元函数无条件极值存在的充分条件定理2设函数(,)zfxy的所有的二阶偏导数都在点00(,)xy附近连续，且有00(,)0xfxy，00(,)0yfxy，记00(,)xxAfxy,00(,)xyBfxy,00(,)yyCfxy那么（1）当20ACB时，(,)fxy在00(,)xy处取得极值，同时当0A时取极小值，0A时取得极大值。（2）当20ACB时，(,)fxy在00(,)xy没有极值。（3）当20BAC时，(,)fxy可能有极值，也可能不存在极值，因此需要重新讨论。例2.3.1求函数3322,339fxyxyxyx的极值。解：解方程组22(,)3690(,)360xyfxyxxfxyyy求得驻点为(1,0)、1,2、(3,0)、(3,2)。并且二阶偏导数·4·(,)66xxfxyx，(,)0xyfxy，(,)66yyfxyy。在点(1,0)处，21260ACB，又0A，所以函数在(1,0)处有极小值1,05f；在点1,2处，212(6)0ACB，所以1,2f不是极值；在点(3,0)处，2(12)60ACB，所以3,0f不是极值；在点(3,2)处，2(12)(6)0ACB，又0A，所以函数在(3,2)处有极大值3,231f。2.4二元函数极值的求解方法（1）首先求偏导数(,)0xfxy，(,)0yfxy，(,)xxAfxy，(,)xyBfxy，(,)yyCfxy；（2）其次求解方程组(,)0(,)0xyfxyfxy，求出驻点；（3）求出不可导点；（4）分别求出在驻点和不可导点处,,ABC的值，然后判断2ACB的符号，以及A的符号，据此判断极值点的存在；（5）根据定理2的结论可以知道00(,)fxy是否能取极值，是取极小值还是取极大值。例2.4.1求二元函数4422(,)224fxyxyxyxy的极值。解：①解方程组3344404440xyfxxyfyyx解得驻点312123202,,022xxxyyy。②判定驻点是否为极值点：2124xxAfx，4xyBf，2124yyCfy。在点(0,0)处，4,4,4ABC，且20ACB，无法判断是否为极·5·值点。但是由于在直线yx上，4(,)2fxyx在0x取极小值；而在直线yx上，42(,)28fxxxx在0x取极大值，所以点(0,0)不是函数(,)fxy的极值点。在点(2,2)处，由于2200,4,20,3840ABCACB，故得出(2,2)8f是(,)fxy的极小值。在点(2,2)处，由于2200,4,20,3840ABCACB，故得出(2,2)8f是(,)fxy的极小值。·6·第三章二元函数条件极值理论3.1二元函数条件极值的定义以上我们所定义的无条件极值，除了其极值点的搜索范围目标函数的定义域外，没有其他条件的限制。但是，在实际生活问题中，我们还会碰到另一类极值问题，它会受到一些约束条件的限制，因此条件极值就是求解带有约束条件的极值问题。例如，要设计一个容量V的矩形孔水箱，那么当水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？设水箱的长度为x、宽度为