二元函数的连续性

返回后页前页§3二元函数的连续性无论是单元微积分还是多元微积分,其中所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质,二者完全相同.一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质返回返回后页前页一、二元函数的连续性概念※连续性的定义.D0,0,0(;)PUPD若只要,就有0|()()|,(1)fPfP则称f关于集合D在点连续.在不致误解的情形0P下,也称f在点连续.0P若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D上的连续函数.2RD定义1设f为定义在点集上的二元函数,0P返回后页前页由上述定义知道:若是D的孤立点,则必定是0P0P00lim()().(2)PPPDfPfP0Pf的连续点.若是D的聚点,则f关于集合D在点连续等价于0P如果是D的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元0P函数的对应情形相同),则称是f的不连续点(或0P称间断点).特别当(2)式左边极限存在,但不等于如上节例1、2给出的函数在原点连续;例3、4、50()fP0P是f的可去间断点.时,返回后页前页给出的函数在原点不连续.又若把上述例3的函数改为222,(,)(,)|,0,(,),(,)(0,0),1xyxyxyymxxxyfxymxym上，这时由于2(,)(0,0)lim(,)(0,0),1xyymxmfxyfm其中m为固定实数,亦即函数f只定义在ymx返回后页前页22,(,)(0,0),(,)(0)0,(,)(0,0),xxyfxyxyxy在坐标原点的连续性．22(cos,sin)(cos)0,frrrr(,)(0,0)lim(,)0(0,0),xyfxyf因此此时f在原点连因此f在原点沿着直线是连续的．ymx例1讨论函数解由于当20r且时,返回后页前页(,)(0,0)2,lim(,)xyfxy时续;而当不存在，此时f在原点间断．※全增量与偏增量00000(,)(,),,,PxyPxyDxxxyyy、设0000(,)(,)(,)zfxyfxyfxy称0000(,)(,)fxxyyfxy量形式来描述连续性,即当为函数f在点的全增量.和一元函数一样,可用增0P返回后页前页(,)(0,0)(,)lim0xyxyDz时,f在点连续.0P00,xy或如果在全增量中取则相应得到的增量称为偏增量,分别记作000000(,)(,)(,),xfxyfxxyfxy000000(,)(,)(,).yfxyfxyyfxy一般说来,函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.返回后页前页若一个偏增量的极限为零,如000lim(,)0,xxfxy0yy0(,)fxy则表示当固定时,作为x的函数,它在x0连续.同理,000lim(,)0,yyfxy若则表示当容易证明:当f在其定义域的内点连续时,00(,)xy0(,)fxy0(,)fxy在x0与在y0都连续.但是反过来,由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性(除非另外增加条件).例如二元函数固定时，0(,)fxy在y0连续.0xx返回后页前页10,(,)00xyfxyxy，，在原点处显然不连续,但由于f(0,y)=f(x,0)=0,因此它在原点处对x和对y分别都连续.例2设在区域2R(,)Dfxyxy上分别对和对都连续．试证在下列条件之一满足时，(,)fxyD在上处处连续：(i)对其中一个变量(例如y)满足李普希茨条件,即0,L12(,),(,),xyxyD恒有使得对任何返回后页前页1212(,)(,);fxyfxyLyy(ii)对其中一个变量(x)的连续关于另一个变量(y)是一致的,即00,0,0(,,xx只与有关0),||,(,),yxxxyD而与无关当且时对一切0(,)(,).yfxyfxy恒有(iii)参见本节习题第9题(这里不作证明).证(i)0000(,).(,),xyDfxyx因在连续故任给1010,||,xx当时有0,返回后页前页000(,)(,)2;fxyfxy又当02||2,yyL时满足00(,)(,)||2.fxyfxyLyy12min{,},令则当000(,)(,)(,)(,)fxyfxyfxyfxy000(,)(,)22,fxyfxy(,)xyD且00||,||xxyy,时又有返回后页前页.D在上处处连续0000(,).(,),fxyxyf即在连续由的任意性便知(ii)0000(,).(,),0,xyDfxyy因在连续故1010,||,yy当时有000|(,)(,)|2;fxyfxy又由f对x的连续关于y是一致的,故20,使02||,(,),yyxyD当且时有0|(,)(,)|2.fxyfxy返回后页前页1200min{,},||,||xxyy令则当(,),xyD且时又有000(,)(,)(,)(,)fxyfxyfxyfxy000(,)(,)22,fxyfxy这就证得.fD在上处处连续※连续函数的局部性质以及相应的有理运算的各个法则.下面只证明二元若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样,可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性返回后页前页复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习.定理16.7(复合函数的连续性)设函数(,)uxy和义,并在点Q0连续,其中000000(,),(,).uxyvxy则复合函数(,)((,),(,))gxyfxyxy在点P0也连续.证由f在点Q0连续可知：0,0,使得当(,)vxy在点的某邻域内有定义,并在000(,)Pxy点连续;f(u,v)在点000(,)Quv0P的某邻域内有定返回后页前页00|(,)(,)|.fuvfuv00||,||uuvv时,有又由、在点P0连续可知:对上述0,0,使得当00||,||xxyy时,有000|||(,)(,)|,uuuvuv000|||(,)(,)|.vvuvuv0000|(,)(,)||(,)(,)|.gxygxyfuvfuv00||,||xxyy综合起来,当时,便有所以((,),(,))fxyxy在点连续.000(,)Pxy返回后页前页二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.定理16.8(有界性定理与最大、小值定理)若二元函数f在有界闭域2RD上连续,则f在D上有界,且能取得最大值与最小值.|()|,1,2,.(3)nfPnn证先证明f在D上有界.倘若不然,则+N,n存,nPD使得在返回后页前页{}nPD{}nP于是得到一个有界点列,且能使中有无穷多个不同的点.由聚点定理的推论,{}nP存在收敛{}knP0limknkPP0.PD子列,设.因D是闭域,从而又因f在D上连续,当然在点也连续,于是有0P0lim()().knkfPfP这与不等式(3)矛盾，所以f是D上的有界函数.下面证明f在D上能取到最大、小值.为此设inf(),sup().mfDMfDQD()fQM可证必有一点,使(同理可证存在返回后页前页QD()fQmPD,使).如若不然,对任意,都有()0MfP.考察D上的正值连续函数1(),()FPMfP由前面的证明知道,F在D上有界.又因f不能在D上达到上确界M,所以存在收敛点列{}nPD,使lim()nnfPMlim()nnFP.于是有,这导致与F在D上有界的结论相矛盾,从而证得f在D上能取到最大值.返回后页前页定理16.9(一致连续性定理)若函数f在有界闭域2RD0,上连续,则f在D上一致连续.即存0,(,)PQ在只依赖于的使得对一切满足证本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的理来证明.这里我们采用后一种证法.方法,运用有限覆盖定理来证明,也可以运用聚点定倘若f在D上连续而不一致连续,则存在某00,0,1,1,2,nn对于任意小的例如,总有,,PQD|()()|.fPfQ必有的点返回后页前页nnPQD、(,)1nnPQn相应的,虽然,但是0|()()|.nnfPfQ由于D为有界闭域,因此存在收敛子列{}{},knnPP0limknkPPD{}nQ{}knP并设.再在中取出与下标相同的子列{},knQ则因0(,)10,,kknnkPQnk有0limlimkknnkkQPP.最后,由f在P0连续,得返回后页前页00lim|()()||()()|0.kknnkfPfQfPfQ0|()()|0kknnfPfQ这与相矛盾,所以f在D上一致连续.定理16.10(介值性定理)设函数f在区域2RD上连续,若P1,P2为D中任意两点,且12()(),fPfP则对任何满足不等式12()()(4)fPfP证作辅助函数0PD0().fP的实数,必存在点,使得返回后页前页()(),.FPfPPD易见F仍在D上连续,且由(4)式知道1()0,FP2()0.FP0PD0()0.FP下面证明必存在,使1P2PDxyO图16-18返回后页前页由于D为区域,我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2(如图16-18).若有某一个连接点所对应的函数值为0,则定理得证.否则从一端开始逐段检查,必定存在某直线段,使得F在它两端的函数值异号.不失一般性,设连结P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含于D,其方程为121121(),01.(),xxtxxtyytyy返回后页前页在此直线段上,F变为关于t的复合函数：121121()((),()),01.GtFxtxxytyyt由于G为[0,1]上的一元连续函数,且12()(0)0(1)(),FPGGFP因此由一元函数根的存在定理,在(0,1)内存在一点0,t0()0Gt使得.记0102101021(),(),xxtxxyytyy则有000(,)PxyD,使得000()()0,().FPGtfP即返回后页前页有连通性的.界闭集(证明过程无原则性变化).但是介值性定理中所考察的点集D只能假设是一区域,这是为了保证它具有连通性,而一般的开集或闭集是不一定具续函数,则f(D)必定是一个区间(有限或无限).注2由定理16.10又可知道,若f为区域D上的连例3(,)[,][,]fxyabcd设在上连续,又有函数序()[,],kxab列在上一致收敛且注1定理16.8与16.9中的有界闭域D可以改为有返回后页前页(),[,],1,2,.kcxdxabk()(,())[,].kkFxfxxab试证在上也一致收敛证由定理16.9知道[,][,]fabcd在上一致连续.0,0,[,],,[,],xabyycd于是,当且||,yy时总有|(,)(,)|.fxyfxy{}[,],0,,kabKnmK又在上一致收敛故当,[,],|()()|;nmxabxx时对一切有故又有|()()||(,())(,())|.nmnmFxFxfxxfxx返回后页前页这就证得{()}[,].kFxab在上一致收敛复习思考题1.在一元函数连续性定义中,如何引入“孤立点必为这