二元泰勒公式

目录上页下页返回结束*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明二元函数的泰勒公式第九章目录上页下页返回结束一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式:20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)()10(推广多元函数泰勒公式目录上页下页返回结束记号(设下面涉及的偏导数连续):),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm•一般地,••表示表示目录上页下页返回结束定理1.),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,),(00kyhx为此邻域内任一点,则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn)10(nR其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.目录上页下页返回结束证:令),10(),()(00tktyhtxft则),()1(,),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000tkythxfktkythxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002tkythxfhtxx),(200tkythxfkhyx),(002tkythxfkyy),()()0(002yxfkhyx目录上页下页返回结束),(C)(000)(tkythxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm由)(t的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.目录上页下页返回结束),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有1)(!)1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(!)1(nnnM)1(max2]1,0[xx利用11)2(!)1(nnnM)(no2目录上页下页返回结束(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky)10((3)若函数),(yxfz在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,.),(常数yxf由中值公式可知在该区域上定理1目录上页下页返回结束例1.求函数)0,0()1ln(),(在点yxyxf解:yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式.2)1(1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1(!2yxyxfpp)3,2,1,0(p444)1(!3yxyxfpp)4,3,2,1,0(p因此,)0,0()(fkhyx)0,0()0,0(yxfkfhkh目录上页下页返回结束)0,0()(2fkhyx)0,0()(3fkhyx)0,0()0,0(2)0,0(22yyyxxxfkfkhfh)0,0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0,0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx33)(31Ryx3)1(!2yx),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(003!31yxfkhyx3R其中),()(43khfkhRyx44)1()(41yxyxykxh)10(目录上页下页返回结束时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC定理2(充分条件)目录上页下页返回结束证:由二元函数的泰勒公式,并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),([hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200]),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(0000,0时kh00目录上页下页返回结束]2[2221kCkhBhA其中,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是z),(21khQ)(22kh,,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQz(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,])()2[(),(2222221kBACkBkhBAhAkhQA])()[(2221kBACkBhAA可见,,0),(,0khQA时当从而△z＞0,因此),(yxf;),(00有极小值在点yx)(2o]2[2221kkhh目录上页下页返回结束])()[(),(2221kBACkBhAkhQA,0),(,0khQA时当从而△z＜0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则])[(),(221kkBhAkhQA)(2BAC),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时,有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yx),(00yxxyO目录上页下页返回结束++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,,同号时当kh,0),(khQ,,异号时当kh,0),(khQ可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2,0z从而,0z从而(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则21)(),(kBhAkhQA若A＝0,则B＝0,2),(kCkhQ可能),(khQ为零或非零xy),(00yxO目录上页下页返回结束此时)(),(221okhQz因此作业P1231,3,4,5第十节,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhQ不能断定(x0,y0)是否为极值点.