正交矩阵的性质

习题课正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根习题课正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质问题①正交矩阵之和？nnRAEAA'1定义，若称A为正交矩阵2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵②数乘正交矩阵？习题课正交矩阵的性质nnnnijRaA2121),,,()(njijijiji,,2,1,,,0,,1'③A为正交矩阵njijijiji,,2,1,,,0,,1'②A为正交矩阵1'AA①A为正交矩阵3正交矩阵的判定习题课正交矩阵的性质的关系如何？ijaijMijA④元素与其余子式，代数余子式1||00iiaijajiji??00③当某时，||ijaji,②的上界？||iiai问题：①的上界？习题课正交矩阵的性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵nR空间的一组标准正交基。A为正交矩阵A的行（列）向量组是n维行（列）向量nnRA1矩阵，则习题课正交矩阵的性质2n维欧氏空间的一组标准正交基，)(RVnn,,,21矩阵满足nnRA),,,(21n12(,,,)nAn,,,21则为标准正交基A为正交矩阵习题课正交矩阵的性质A是正交变换A为正交矩阵则标准正交基，若)(RVnn,,,213A为n维欧氏空间的线性变换，是一组),,,(21nAn),,,(21nnRAA，习题课正交矩阵的性质1A②A为第二类的，若。1A①A为第一类的(旋转)，若；)(RVn4n维欧氏空间的正交变换的分类习题课正交矩阵的性质),,,(21ndiagAPPAPP1'使),,,(21nPn),,,(21即diag),,,(21n对角矩阵n,,,21向量，即A在下的矩阵为实n,,,21存在标准正交基是A的特征AA'A为对称变换则),,,(21nAn),,,(21nnRA标准正交基，且A，)(RVnn,,,215A为n维欧氏空间的线性变换，为一组习题课正交矩阵的性质1在不同的教材上曾出现下面的命题三、正交矩阵的特征根③正交矩阵的特征根的模等于1。②正交矩阵的实特征根为1或－1；①正交变换的特征根为1或－1；习题课正交矩阵的性质)')(())('()('xxxxAxAxxAAx)('xxxx''212可得即,0',xxEAA注意此时由（1）和（2）对（1）两边取共轭转置'')'(')('xxAxxAAx（2）nCxCxAx)0(,,（1）xn③的证明：设为维非零复向量，为复数，且习题课正交矩阵的性质2正交矩阵A的特征根AEfA)(nnnaa11共轭出现的。nnRA②当时，由（3）知A的非实的复特征根是成对n,,,21iCi,这里为矩阵A的所有特征根niiA1iii)niniiiiatrA11ii)AatrAann)1(,1i)（3）①特征多项式习题课正交矩阵的性质③正交矩阵的特征根nnRAkiiii,,2,1,12nkst2kst,,这里，为非负整数且kk,,,,,,2211非实特征根121s负特征根（4）121t正特征根ii)可设12非实特征根为成对共轭与出现，且实特征根为1或－1i)分类习题课正交矩阵的性质3正交矩阵A的行列式))((11stAkk2211)(1sssA)1(，是－1作为A的特征根的重数（5）即②在（4）之下1A①或－1（简单证明，由定义给出）习题课正交矩阵的性质4正交矩阵的三类特征根nnRA特征根为1或－1。ts②n为奇数时，与的奇偶性相反，且至少有1个st①n为偶数时，与的奇偶性相同习题课正交矩阵的性质5n维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况③若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。相同。A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性1A②A为第二类的即若A有特征根，则特征根－1的重数为偶数，特征根1的重数与n的奇偶性相同1A①A为第一类的即才是A的特征根，约定当不是特征根时，其重数为0：注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根习题课正交矩阵的性质③设A是33正交阵且证明A的特征多项式为1A31t这里1)(23ttf，②证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。特征值。①证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个6问题习题课正交矩阵的性质①与②进一步的结论？),,1(12iii)，，)1,1,1(ii))1,1,1(i)③考虑A的所有特征值的可能性