等比数列知识点总结与典型例题+答案

1等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmnnnmnmmmaaaaqqqaa3、等比中项：（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0){}nnnnnnaaqaqqaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0{}nnnaABABa为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1{}nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：2（2）对任何*,mnN，在等比数列{}na中，有nmnmaaq。（3）若*(,,,)mnstmnstN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}na中，1964aa,3720aa,求11a.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a.等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm3总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列{}na，若1237aaa，1238aaa，求na。类型二：等比数列的前n项和公式例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.举一反三：【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.4【变式3】在等比数列{}na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。类型三：等比数列的性质例3.等比数列{}na中，若569aa,求3132310loglog...logaaa.举一反三：【变式1】正项等比数列{}na中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.【变式2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。类型四：等比数列前n项和公式的性质例4．在等比数列{}na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。举一反三：【变式1】等比数列{}na中，公比q=2,S4=1,则S8=___________.【变式2】已知等比数列{}na的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：S30=？5【变式3】等比数列{}na的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.【变式4】等比数列{}na中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_____________.【变式5】等比数列{}na中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。类型五：等差等比数列的综合应用例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。6举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？思路点拨：由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型.举一反三：【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。【答案】p=2或p=3；7【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p,q，且p≠q【变式3】判断正误：(1){an}为等比数列a7=a3a4；(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；(3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；(4){an}是公比为q的等比数列，则2{}na、1na仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差.类型七：Sn与an的关系例7．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足21056nnnSaa，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)nnnanaSSn，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=na-n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个.8经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}na中，1964aa,3720aa,求11a.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a.解析：法一：设此数列公比为q，则8191126371164(1)20(2)aaaaqaaaqaq由(2)得：241(1)20aqq..........(3)∴10a.由(1)得：421()64aq,∴418aq......(4)(3)÷(4)得：42120582qq，∴422520qq,解得22q或212q当22q时，12a，1011164aaq；当212q时，132a，101111aaq.法二：∵193764aaaa,又3720aa,∴3a、7a为方程220640xx的两实数根，∴41673aa或16473aa∵23117aaa,∴271131aaa或1164a.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】±96法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【答案】64；∵21894516aaa，又an＞0，∴a45=49∴34445464564aaaa。【变式3】已知等比数列{}na，若1237aaa，1238aaa，求na。【答案】12nna或32nna；法一：∵2132aaa，∴312328aaaa，∴22a从而13135,4aaaa解之得11a，34a或14a，31a当11a时，2q；当14a时，12q。故12nna或32nna。法二：由等比数列的定义知21aaq，231aaq代入已知得2111211178aaqaqaaqaq21331(1)7,8aqqaq211(1)7,(1)2(2)aqqaq将12aq代入（1）得22520qq，解得2q或12q由（2）得112aq或1412aq，以下同方法一。类型二：等比数列的前n项和公式例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因q3≠1，故312q，所以342q。10举一反三：【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。【答案】364243；∵11a，13q，6n∴666111331364112324313S。【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】1211219或；∵322273aa，31(1)113313aqqqq或，则a1=1或a1=9∴5555191131213121S113913S－或＝＝－.【变式3】在等比数列{}na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。【答案】12q或2，6n；∵211nnaaaa，∴1128naa解方程组1112866nnaaaa，得1642naa或1264naa①将1642naa代入11nnaaqSq，得12q，由11nnaaq